Theorem bastop 15176

Description: Two ways to express that a basis is a topology. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
bastop	|- ( B e. TopBases -> ( B e. Top <-> ( topGen ` B ) = B ) )

Proof of Theorem bastop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 15169	. 2 |- ( B e. Top -> ( topGen ` B ) = B )
2		tgcl 15165	. . 3 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )
3		eleq1 2301	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) = B -> ( ( topGen ` B ) e. Top <-> B e. Top ) )
4	2, 3	syl5ibcom 155	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( ( topGen ` B ) = B -> B e. Top ) )
5	1, 4	impbid2 143	1 |- ( B e. TopBases -> ( B e. Top <-> ( topGen ` B ) = B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377   topGenctg 13608   Topctop 15098   TopBasesctb 15143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-topgen 13614  df-top 15099  df-bases 15144

This theorem is used by: (None)