Theorem bastop 12486

Description: Two ways to express that a basis is a topology. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
bastop	|- ( B e. TopBases -> ( B e. Top <-> ( topGen ` B ) = B ) )

Proof of Theorem bastop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 12479	. 2 |- ( B e. Top -> ( topGen ` B ) = B )
2		tgcl 12475	. . 3 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )
3		eleq1 2220	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) = B -> ( ( topGen ` B ) e. Top <-> B e. Top ) )
4	2, 3	syl5ibcom 154	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( ( topGen ` B ) = B -> B e. Top ) )
5	1, 4	impbid2 142	1 |- ( B e. TopBases -> ( B e. Top <-> ( topGen ` B ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   ` cfv 5170   topGenctg 12377   Topctop 12406   TopBasesctb 12451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-topgen 12383  df-top 12407  df-bases 12452

This theorem is referenced by: (None)