ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bastop Unicode version

Theorem bastop 12869
Description: Two ways to express that a basis is a topology. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
bastop  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( B  e. 
Top 
<->  ( topGen `  B )  =  B ) )

Proof of Theorem bastop
StepHypRef Expression
1 tgtop 12862 . 2  |-  ( B  e.  Top  ->  ( topGen `
 B )  =  B )
2 tgcl 12858 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
3 eleq1 2233 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  =  B  ->  ( ( topGen `
 B )  e. 
Top 
<->  B  e.  Top )
)
42, 3syl5ibcom 154 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( topGen `  B )  =  B  ->  B  e.  Top ) )
51, 4impbid2 142 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( B  e. 
Top 
<->  ( topGen `  B )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   ` cfv 5198   topGenctg 12594   Topctop 12789   TopBasesctb 12834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-topgen 12600  df-top 12790  df-bases 12835
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator