Theorem bastop 14052

Description: Two ways to express that a basis is a topology. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
bastop	|- ( B e. TopBases -> ( B e. Top <-> ( topGen ` B ) = B ) )

Proof of Theorem bastop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 14045	. 2 |- ( B e. Top -> ( topGen ` B ) = B )
2		tgcl 14041	. . 3 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )
3		eleq1 2252	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) = B -> ( ( topGen ` B ) e. Top <-> B e. Top ) )
4	2, 3	syl5ibcom 155	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( ( topGen ` B ) = B -> B e. Top ) )
5	1, 4	impbid2 143	1 |- ( B e. TopBases -> ( B e. Top <-> ( topGen ` B ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235   topGenctg 12762   Topctop 13974   TopBasesctb 14019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-topgen 12768  df-top 13975  df-bases 14020

This theorem is referenced by: (None)