ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bastop Unicode version

Theorem bastop 12486
Description: Two ways to express that a basis is a topology. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
bastop  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( B  e. 
Top 
<->  ( topGen `  B )  =  B ) )

Proof of Theorem bastop
StepHypRef Expression
1 tgtop 12479 . 2  |-  ( B  e.  Top  ->  ( topGen `
 B )  =  B )
2 tgcl 12475 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
3 eleq1 2220 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  =  B  ->  ( ( topGen `
 B )  e. 
Top 
<->  B  e.  Top )
)
42, 3syl5ibcom 154 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( topGen `  B )  =  B  ->  B  e.  Top ) )
51, 4impbid2 142 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( B  e. 
Top 
<->  ( topGen `  B )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128   ` cfv 5170   topGenctg 12377   Topctop 12406   TopBasesctb 12451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-topgen 12383  df-top 12407  df-bases 12452
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator