Theorem bastop 14311

Description: Two ways to express that a basis is a topology. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
bastop	|- ( B e. TopBases -> ( B e. Top <-> ( topGen ` B ) = B ) )

Proof of Theorem bastop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 14304	. 2 |- ( B e. Top -> ( topGen ` B ) = B )
2		tgcl 14300	. . 3 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )
3		eleq1 2259	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) = B -> ( ( topGen ` B ) e. Top <-> B e. Top ) )
4	2, 3	syl5ibcom 155	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( ( topGen ` B ) = B -> B e. Top ) )
5	1, 4	impbid2 143	1 |- ( B e. TopBases -> ( B e. Top <-> ( topGen ` B ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258   topGenctg 12925   Topctop 14233   TopBasesctb 14278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-topgen 12931  df-top 14234  df-bases 14279

This theorem is referenced by: (None)