Theorem bastop 12233

Description: Two ways to express that a basis is a topology. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
bastop	|- ( B e. TopBases -> ( B e. Top <-> ( topGen ` B ) = B ) )

Proof of Theorem bastop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 12226	. 2 |- ( B e. Top -> ( topGen ` B ) = B )
2		tgcl 12222	. . 3 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )
3		eleq1 2200	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) = B -> ( ( topGen ` B ) e. Top <-> B e. Top ) )
4	2, 3	syl5ibcom 154	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( ( topGen ` B ) = B -> B e. Top ) )
5	1, 4	impbid2 142	1 |- ( B e. TopBases -> ( B e. Top <-> ( topGen ` B ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5118   topGenctg 12124   Topctop 12153   TopBasesctb 12198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-topgen 12130  df-top 12154  df-bases 12199

This theorem is referenced by: (None)