Theorem bastop 13578

Description: Two ways to express that a basis is a topology. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
bastop	⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵 ∈ Top ↔ (topGen‘𝐵) = 𝐵))

Proof of Theorem bastop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 13571	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Top → (topGen‘𝐵) = 𝐵)
2		tgcl 13567	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
3		eleq1 2240	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) = 𝐵 → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ 𝐵 ∈ Top))
4	2, 3	syl5ibcom 155	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → ((topGen‘𝐵) = 𝐵 → 𝐵 ∈ Top))
5	1, 4	impbid2 143	1 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵 ∈ Top ↔ (topGen‘𝐵) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5217  topGenctg 12703  Topctop 13500  TopBasesctb 13545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-topgen 12709  df-top 13501  df-bases 13546

This theorem is referenced by: (None)