Theorem coexg 5214

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A o. B ) e. _V )

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 5192	. 2 |- ( A o. B ) C_ ( dom B X. ran A )
2		dmexg 4930	. . 3 |- ( B e. W -> dom B e. _V )
3		rnexg 4931	. . 3 |- ( A e. V -> ran A e. _V )
4		xpexg 4777	. . 3 |- ( ( dom B e. _V /\ ran A e. _V ) -> ( dom B X. ran A ) e. _V )
5	2, 3, 4	syl2anr 290	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( dom B X. ran A ) e. _V )
6		ssexg 4172	. 2 |- ( ( ( A o. B ) C_ ( dom B X. ran A ) /\ ( dom B X. ran A ) e. _V ) -> ( A o. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A o. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   X. cxp 4661   dom cdm 4663   ran crn 4664   o. ccom 4667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674

This theorem is referenced by:  coex  5215  seqf1oglem2  10612  seqf1og  10613  gsumwmhm  13130  gsumfzreidx  13467  gsumfzmhm  13473  znval  14192  znle  14193  znbaslemnn  14195  climcncf  14820