Theorem coexg 5332

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A o. B ) e. _V )

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 5310	. 2 |- ( A o. B ) C_ ( dom B X. ran A )
2		dmexg 5046	. . 3 |- ( B e. W -> dom B e. _V )
3		rnexg 5047	. . 3 |- ( A e. V -> ran A e. _V )
4		xpexg 4889	. . 3 |- ( ( dom B e. _V /\ ran A e. _V ) -> ( dom B X. ran A ) e. _V )
5	2, 3, 4	syl2anr 290	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( dom B X. ran A ) e. _V )
6		ssexg 4272	. 2 |- ( ( ( A o. B ) C_ ( dom B X. ran A ) /\ ( dom B X. ran A ) e. _V ) -> ( A o. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 418	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A o. B ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   X. cxp 4772   dom cdm 4774   ran crn 4775   o. ccom 4778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785

This theorem is used by:  coex  5333  suppcofn  6506  seqf1oglem2  10957  seqf1og  10958  gzsumwmhm  13803  gzsumreidx  14141  gzsummhm  14145  gzsumshift  14149  gsumvalfi  14152  znval  14971  znle  14972  znbaslemnn  14974  climcncf  15685