Theorem coexg 5273

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A o. B ) e. _V )

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 5251	. 2 |- ( A o. B ) C_ ( dom B X. ran A )
2		dmexg 4988	. . 3 |- ( B e. W -> dom B e. _V )
3		rnexg 4989	. . 3 |- ( A e. V -> ran A e. _V )
4		xpexg 4833	. . 3 |- ( ( dom B e. _V /\ ran A e. _V ) -> ( dom B X. ran A ) e. _V )
5	2, 3, 4	syl2anr 290	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( dom B X. ran A ) e. _V )
6		ssexg 4223	. 2 |- ( ( ( A o. B ) C_ ( dom B X. ran A ) /\ ( dom B X. ran A ) e. _V ) -> ( A o. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A o. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   X. cxp 4717   dom cdm 4719   ran crn 4720   o. ccom 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730

This theorem is referenced by:  coex  5274  seqf1oglem2  10742  seqf1og  10743  gsumwmhm  13531  gsumfzreidx  13874  gsumfzmhm  13880  znval  14600  znle  14601  znbaslemnn  14603  climcncf  15258