Theorem coexg 5246

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A o. B ) e. _V )

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 5224	. 2 |- ( A o. B ) C_ ( dom B X. ran A )
2		dmexg 4961	. . 3 |- ( B e. W -> dom B e. _V )
3		rnexg 4962	. . 3 |- ( A e. V -> ran A e. _V )
4		xpexg 4807	. . 3 |- ( ( dom B e. _V /\ ran A e. _V ) -> ( dom B X. ran A ) e. _V )
5	2, 3, 4	syl2anr 290	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( dom B X. ran A ) e. _V )
6		ssexg 4199	. 2 |- ( ( ( A o. B ) C_ ( dom B X. ran A ) /\ ( dom B X. ran A ) e. _V ) -> ( A o. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A o. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   X. cxp 4691   dom cdm 4693   ran crn 4694   o. ccom 4697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704

This theorem is referenced by:  coex  5247  seqf1oglem2  10702  seqf1og  10703  gsumwmhm  13445  gsumfzreidx  13788  gsumfzmhm  13794  znval  14513  znle  14514  znbaslemnn  14516  climcncf  15171