Theorem coexg 5281

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A o. B ) e. _V )

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 5259	. 2 |- ( A o. B ) C_ ( dom B X. ran A )
2		dmexg 4996	. . 3 |- ( B e. W -> dom B e. _V )
3		rnexg 4997	. . 3 |- ( A e. V -> ran A e. _V )
4		xpexg 4840	. . 3 |- ( ( dom B e. _V /\ ran A e. _V ) -> ( dom B X. ran A ) e. _V )
5	2, 3, 4	syl2anr 290	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( dom B X. ran A ) e. _V )
6		ssexg 4228	. 2 |- ( ( ( A o. B ) C_ ( dom B X. ran A ) /\ ( dom B X. ran A ) e. _V ) -> ( A o. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A o. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   X. cxp 4723   dom cdm 4725   ran crn 4726   o. ccom 4729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736

This theorem is referenced by:  coex  5282  seqf1oglem2  10781  seqf1og  10782  gsumwmhm  13580  gsumfzreidx  13923  gsumfzmhm  13929  znval  14649  znle  14650  znbaslemnn  14652  climcncf  15307  gfsumval  16680  gsumgfsumlem  16683