Theorem coexg 5269

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 5247	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2		dmexg 4984	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3		rnexg 4985	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4		xpexg 4830	. . 3 ⊢ ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anr 290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6		ssexg 4222	. 2 ⊢ (((𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197   × cxp 4714  dom cdm 4716  ran crn 4717   ∘ ccom 4720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727

This theorem is referenced by:  coex  5270  seqf1oglem2  10729  seqf1og  10730  gsumwmhm  13517  gsumfzreidx  13860  gsumfzmhm  13866  znval  14585  znle  14586  znbaslemnn  14588  climcncf  15243