Theorem xpexg 4891

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4889	. 2 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )
2		unexg 4591	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		pwexg 4319	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ~P ( A u. B ) e. _V )
4		pwexg 4319	. . 3 |- ( ~P ( A u. B ) e. _V -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
6		ssexg 4274	. 2 |- ( ( ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B ) /\ ~P ~P ( A u. B ) e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 418	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   X. cxp 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-opab 4194  df-xp 4782

This theorem is used by:  xpexd  4892  xpex  4893  sqxpexg  4895  resiexg  5111  cnvexg  5328  coexg  5335  fex2  5559  fabexg  5582  resfunexgALT  6341  cofunexg  6342  fnexALT  6344  funexw  6345  opabex3d  6354  opabex3  6355  oprabexd  6364  ofmresex  6374  mpoexxg  6450  tposexg  6533  erex  6835  pmex  6931  mapex  6932  pmvalg  6937  elpmg  6942  fvdiagfn  6979  ixpexgg  7008  ixpsnf1o  7022  map1  7105  xpdom2  7133  xpdom3m  7136  xpen  7149  mapxpen  7152  xpfi  7243  djuex  7389  djuassen  7579  cc2lem  7638  shftfvalg  11605  climconst2  12082  mulgnngzsum  13989  releqgg  14082  eqgex  14083  eqgfval  14084  prdsval  14280  prdsbaslemss  14281  pwsval  14311  pwsbas  14312  dvdsrvald  14509  dvdsrex  14514  aprval  14700  aprap  14707  psrval  15159  psrbasg  15178  psrplusgg  15182  psrlidmfi  15199  lmfval  15419  txbasex  15483  txopn  15491  txcn  15501  txrest  15502  blfvalps  15611  xmetxp  15733  limccnp2lem  15902  limccnp2cntop  15903  dvfvalap  15907