Theorem xpexg 4864

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4862	. 2 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )
2		unexg 4564	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		pwexg 4293	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ~P ( A u. B ) e. _V )
4		pwexg 4293	. . 3 |- ( ~P ( A u. B ) e. _V -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
6		ssexg 4249	. 2 |- ( ( ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B ) /\ ~P ~P ( A u. B ) e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   u. cun 3209   C_ wss 3211   ~Pcpw 3669   X. cxp 4747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-opab 4172  df-xp 4755

This theorem is referenced by:  xpexd  4865  xpex  4866  sqxpexg  4868  resiexg  5083  cnvexg  5300  coexg  5307  fex2  5531  fabexg  5554  resfunexgALT  6301  cofunexg  6302  fnexALT  6304  funexw  6305  opabex3d  6314  opabex3  6315  oprabexd  6320  ofmresex  6330  mpoexxg  6406  tposexg  6489  erex  6791  pmex  6887  mapex  6888  pmvalg  6893  elpmg  6898  fvdiagfn  6928  ixpexgg  6957  ixpsnf1o  6971  map1  7054  xpdom2  7082  xpdom3m  7085  xpen  7098  mapxpen  7101  xpfi  7192  djuex  7334  djuassen  7524  cc2lem  7580  shftfvalg  11503  climconst2  11976  prdsval  13486  prdsbaslemss  13487  pwsval  13504  pwsbas  13505  mulgnngsum  13844  releqgg  13937  eqgex  13938  eqgfval  13939  dvdsrvald  14238  dvdsrex  14243  aprval  14428  aprap  14432  psrval  14814  psrbasg  14829  psrplusgg  14833  lmfval  15058  txbasex  15122  txopn  15130  txcn  15140  txrest  15141  blfvalps  15250  xmetxp  15372  limccnp2lem  15541  limccnp2cntop  15542  dvfvalap  15546