Theorem xpexg 4891

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4889	. 2 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )
2		unexg 4591	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		pwexg 4319	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ~P ( A u. B ) e. _V )
4		pwexg 4319	. . 3 |- ( ~P ( A u. B ) e. _V -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
6		ssexg 4274	. 2 |- ( ( ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B ) /\ ~P ~P ( A u. B ) e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 418	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   X. cxp 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-opab 4194  df-xp 4782

This theorem is used by:  xpexd  4892  xpex  4893  sqxpexg  4895  resiexg  5111  cnvexg  5328  coexg  5335  fex2  5559  fabexg  5582  resfunexgALT  6341  cofunexg  6342  fnexALT  6344  funexw  6345  opabex3d  6354  opabex3  6355  oprabexd  6364  ofmresex  6374  mpoexxg  6450  tposexg  6534  erex  6836  pmex  6932  mapex  6933  pmvalg  6938  elpmg  6943  fvdiagfn  6981  ixpexgg  7010  ixpsnf1o  7024  map1  7107  xpdom2  7135  xpdom3m  7138  xpen  7151  mapxpen  7154  xpfi  7245  djuex  7389  djuassen  7579  cc2lem  7638  shftfvalg  11604  climconst2  12081  mulgnngzsum  13988  releqgg  14081  eqgex  14082  eqgfval  14083  prdsval  14279  prdsbaslemss  14280  pwsval  14310  pwsbas  14311  dvdsrvald  14508  dvdsrex  14513  aprval  14699  aprap  14706  psrval  15160  psrbasg  15187  psrplusgg  15191  psrlidmfi  15208  lmfval  15436  txbasex  15500  txopn  15508  txcn  15518  txrest  15519  blfvalps  15628  xmetxp  15750  limccnp2lem  15919  limccnp2cntop  15920  dvfvalap  15924