Theorem xpexg 4807

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4805	. 2 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )
2		unexg 4508	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		pwexg 4240	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ~P ( A u. B ) e. _V )
4		pwexg 4240	. . 3 |- ( ~P ( A u. B ) e. _V -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
6		ssexg 4199	. 2 |- ( ( ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B ) /\ ~P ~P ( A u. B ) e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   u. cun 3172   C_ wss 3174   ~Pcpw 3626   X. cxp 4691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-opab 4122  df-xp 4699

This theorem is referenced by:  xpex  4808  sqxpexg  4809  resiexg  5023  cnvexg  5239  coexg  5246  fex2  5464  fabexg  5485  resfunexgALT  6216  cofunexg  6217  fnexALT  6219  funexw  6220  opabex3d  6229  opabex3  6230  oprabexd  6235  ofmresex  6245  mpoexxg  6319  tposexg  6367  erex  6667  pmex  6763  mapex  6764  pmvalg  6769  elpmg  6774  fvdiagfn  6803  ixpexgg  6832  ixpsnf1o  6846  map1  6928  xpdom2  6951  xpdom3m  6954  xpen  6967  mapxpen  6970  xpfi  7055  djuex  7171  djuassen  7360  cc2lem  7413  shftfvalg  11244  climconst2  11717  prdsval  13220  prdsbaslemss  13221  pwsval  13238  pwsbas  13239  mulgnngsum  13578  releqgg  13671  eqgex  13672  eqgfval  13673  reldvdsrsrg  13969  dvdsrvald  13970  dvdsrex  13975  aprval  14159  aprap  14163  psrval  14543  psrbasg  14551  psrplusgg  14555  lmfval  14779  txbasex  14844  txopn  14852  txcn  14862  txrest  14863  blfvalps  14972  xmetxp  15094  limccnp2lem  15263  limccnp2cntop  15264  dvfvalap  15268