Theorem xpexg 4884

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4882	. 2 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )
2		unexg 4584	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		pwexg 4312	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ~P ( A u. B ) e. _V )
4		pwexg 4312	. . 3 |- ( ~P ( A u. B ) e. _V -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
6		ssexg 4267	. 2 |- ( ( ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B ) /\ ~P ~P ( A u. B ) e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 418	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   ~Pcpw 3685   X. cxp 4767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-opab 4188  df-xp 4775

This theorem is referenced by:  xpexd  4885  xpex  4886  sqxpexg  4888  resiexg  5103  cnvexg  5320  coexg  5327  fex2  5551  fabexg  5574  resfunexgALT  6327  cofunexg  6328  fnexALT  6330  funexw  6331  opabex3d  6340  opabex3  6341  oprabexd  6350  ofmresex  6360  mpoexxg  6436  tposexg  6519  erex  6821  pmex  6917  mapex  6918  pmvalg  6923  elpmg  6928  fvdiagfn  6965  ixpexgg  6994  ixpsnf1o  7008  map1  7091  xpdom2  7119  xpdom3m  7122  xpen  7135  mapxpen  7138  xpfi  7229  djuex  7373  djuassen  7563  cc2lem  7622  shftfvalg  11561  climconst2  12035  mulgnngzsum  13907  releqgg  14000  eqgex  14001  eqgfval  14002  prdsval  14150  prdsbaslemss  14151  pwsval  14181  pwsbas  14182  dvdsrvald  14373  dvdsrex  14378  aprval  14564  aprap  14571  psrval  14973  psrbasg  14988  psrplusgg  14992  lmfval  15217  txbasex  15281  txopn  15289  txcn  15299  txrest  15300  blfvalps  15409  xmetxp  15531  limccnp2lem  15700  limccnp2cntop  15701  dvfvalap  15705