Theorem xpexg 4789

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4787	. 2 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )
2		unexg 4490	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		pwexg 4224	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ~P ( A u. B ) e. _V )
4		pwexg 4224	. . 3 |- ( ~P ( A u. B ) e. _V -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
6		ssexg 4183	. 2 |- ( ( ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B ) /\ ~P ~P ( A u. B ) e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   C_ wss 3166   ~Pcpw 3616   X. cxp 4673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-opab 4106  df-xp 4681

This theorem is referenced by:  xpex  4790  sqxpexg  4791  resiexg  5004  cnvexg  5220  coexg  5227  fex2  5444  fabexg  5463  resfunexgALT  6193  cofunexg  6194  fnexALT  6196  funexw  6197  opabex3d  6206  opabex3  6207  oprabexd  6212  ofmresex  6222  mpoexxg  6296  tposexg  6344  erex  6644  pmex  6740  mapex  6741  pmvalg  6746  elpmg  6751  fvdiagfn  6780  ixpexgg  6809  ixpsnf1o  6823  map1  6904  xpdom2  6926  xpdom3m  6929  xpen  6942  mapxpen  6945  xpfi  7029  djuex  7145  djuassen  7329  cc2lem  7378  shftfvalg  11129  climconst2  11602  prdsval  13105  prdsbaslemss  13106  pwsval  13123  pwsbas  13124  mulgnngsum  13463  releqgg  13556  eqgex  13557  eqgfval  13558  reldvdsrsrg  13854  dvdsrvald  13855  dvdsrex  13860  aprval  14044  aprap  14048  psrval  14428  psrbasg  14436  psrplusgg  14440  lmfval  14664  txbasex  14729  txopn  14737  txcn  14747  txrest  14748  blfvalps  14857  xmetxp  14979  limccnp2lem  15148  limccnp2cntop  15149  dvfvalap  15153