Theorem xpexg 4840

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4838	. 2 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )
2		unexg 4540	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		pwexg 4270	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ~P ( A u. B ) e. _V )
4		pwexg 4270	. . 3 |- ( ~P ( A u. B ) e. _V -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
6		ssexg 4228	. 2 |- ( ( ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B ) /\ ~P ~P ( A u. B ) e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   u. cun 3198   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   X. cxp 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-opab 4151  df-xp 4731

This theorem is referenced by:  xpexd  4841  xpex  4842  sqxpexg  4843  resiexg  5058  cnvexg  5274  coexg  5281  fex2  5503  fabexg  5524  resfunexgALT  6269  cofunexg  6270  fnexALT  6272  funexw  6273  opabex3d  6282  opabex3  6283  oprabexd  6288  ofmresex  6298  mpoexxg  6374  tposexg  6423  erex  6725  pmex  6821  mapex  6822  pmvalg  6827  elpmg  6832  fvdiagfn  6861  ixpexgg  6890  ixpsnf1o  6904  map1  6986  xpdom2  7014  xpdom3m  7017  xpen  7030  mapxpen  7033  xpfi  7123  djuex  7241  djuassen  7431  cc2lem  7484  shftfvalg  11378  climconst2  11851  prdsval  13355  prdsbaslemss  13356  pwsval  13373  pwsbas  13374  mulgnngsum  13713  releqgg  13806  eqgex  13807  eqgfval  13808  dvdsrvald  14106  dvdsrex  14111  aprval  14295  aprap  14299  psrval  14679  psrbasg  14687  psrplusgg  14691  lmfval  14916  txbasex  14980  txopn  14988  txcn  14998  txrest  14999  blfvalps  15108  xmetxp  15230  limccnp2lem  15399  limccnp2cntop  15400  dvfvalap  15404