ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpexg Unicode version

Theorem xpexg 4613
Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
xpexg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )

Proof of Theorem xpexg
StepHypRef Expression
1 xpsspw 4611 . 2  |-  ( A  X.  B )  C_  ~P ~P ( A  u.  B )
2 unexg 4324 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
3 pwexg 4064 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ~P ( A  u.  B
)  e.  _V )
4 pwexg 4064 . . 3  |-  ( ~P ( A  u.  B
)  e.  _V  ->  ~P ~P ( A  u.  B )  e.  _V )
52, 3, 43syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ~P ~P ( A  u.  B )  e. 
_V )
6 ssexg 4027 . 2  |-  ( ( ( A  X.  B
)  C_  ~P ~P ( A  u.  B
)  /\  ~P ~P ( A  u.  B
)  e.  _V )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
71, 5, 6sylancr 408 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1463   _Vcvv 2657    u. cun 3035    C_ wss 3037   ~Pcpw 3476    X. cxp 4497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-rex 2396  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-opab 3950  df-xp 4505
This theorem is referenced by:  xpex  4614  sqxpexg  4615  resiexg  4822  cnvexg  5034  coexg  5041  fex2  5249  fabexg  5268  resfunexgALT  5962  cofunexg  5963  fnexALT  5965  opabex3d  5973  opabex3  5974  oprabexd  5979  ofmresex  5989  mpoexxg  6062  tposexg  6109  erex  6407  pmex  6501  mapex  6502  pmvalg  6507  elpmg  6512  fvdiagfn  6541  ixpexgg  6570  ixpsnf1o  6584  map1  6660  xpdom2  6678  xpdom3m  6681  xpen  6692  mapxpen  6695  xpfi  6771  djuex  6880  djuassen  7021  shftfvalg  10483  climconst2  10952  lmfval  12204  txbasex  12268  txopn  12276  txcn  12286  txrest  12287  blfvalps  12374  xmetxp  12496  limccnp2lem  12601  limccnp2cntop  12602  dvfvalap  12605
  Copyright terms: Public domain W3C validator