Theorem xpexg 4838

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4836	. 2 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )
2		unexg 4538	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		pwexg 4268	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ~P ( A u. B ) e. _V )
4		pwexg 4268	. . 3 |- ( ~P ( A u. B ) e. _V -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
6		ssexg 4226	. 2 |- ( ( ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B ) /\ ~P ~P ( A u. B ) e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   u. cun 3196   C_ wss 3198   ~Pcpw 3650   X. cxp 4721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-opab 4149  df-xp 4729

This theorem is referenced by:  xpexd  4839  xpex  4840  sqxpexg  4841  resiexg  5056  cnvexg  5272  coexg  5279  fex2  5500  fabexg  5521  resfunexgALT  6265  cofunexg  6266  fnexALT  6268  funexw  6269  opabex3d  6278  opabex3  6279  oprabexd  6284  ofmresex  6294  mpoexxg  6370  tposexg  6419  erex  6721  pmex  6817  mapex  6818  pmvalg  6823  elpmg  6828  fvdiagfn  6857  ixpexgg  6886  ixpsnf1o  6900  map1  6982  xpdom2  7010  xpdom3m  7013  xpen  7026  mapxpen  7029  xpfi  7117  djuex  7233  djuassen  7422  cc2lem  7475  shftfvalg  11369  climconst2  11842  prdsval  13346  prdsbaslemss  13347  pwsval  13364  pwsbas  13365  mulgnngsum  13704  releqgg  13797  eqgex  13798  eqgfval  13799  dvdsrvald  14097  dvdsrex  14102  aprval  14286  aprap  14290  psrval  14670  psrbasg  14678  psrplusgg  14682  lmfval  14907  txbasex  14971  txopn  14979  txcn  14989  txrest  14990  blfvalps  15099  xmetxp  15221  limccnp2lem  15390  limccnp2cntop  15391  dvfvalap  15395