Theorem xpexg 4832

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4830	. 2 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )
2		unexg 4533	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		pwexg 4263	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ~P ( A u. B ) e. _V )
4		pwexg 4263	. . 3 |- ( ~P ( A u. B ) e. _V -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
6		ssexg 4222	. 2 |- ( ( ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B ) /\ ~P ~P ( A u. B ) e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   X. cxp 4716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-opab 4145  df-xp 4724

This theorem is referenced by:  xpex  4833  sqxpexg  4834  resiexg  5049  cnvexg  5265  coexg  5272  fex2  5491  fabexg  5512  resfunexgALT  6251  cofunexg  6252  fnexALT  6254  funexw  6255  opabex3d  6264  opabex3  6265  oprabexd  6270  ofmresex  6280  mpoexxg  6354  tposexg  6402  erex  6702  pmex  6798  mapex  6799  pmvalg  6804  elpmg  6809  fvdiagfn  6838  ixpexgg  6867  ixpsnf1o  6881  map1  6963  xpdom2  6986  xpdom3m  6989  xpen  7002  mapxpen  7005  xpfi  7090  djuex  7206  djuassen  7395  cc2lem  7448  shftfvalg  11324  climconst2  11797  prdsval  13301  prdsbaslemss  13302  pwsval  13319  pwsbas  13320  mulgnngsum  13659  releqgg  13752  eqgex  13753  eqgfval  13754  reldvdsrsrg  14050  dvdsrvald  14051  dvdsrex  14056  aprval  14240  aprap  14244  psrval  14624  psrbasg  14632  psrplusgg  14636  lmfval  14860  txbasex  14925  txopn  14933  txcn  14943  txrest  14944  blfvalps  15053  xmetxp  15175  limccnp2lem  15344  limccnp2cntop  15345  dvfvalap  15349