Theorem xpexg 4742

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4740	. 2 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )
2		unexg 4445	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		pwexg 4182	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ~P ( A u. B ) e. _V )
4		pwexg 4182	. . 3 |- ( ~P ( A u. B ) e. _V -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
6		ssexg 4144	. 2 |- ( ( ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B ) /\ ~P ~P ( A u. B ) e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   u. cun 3129   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   X. cxp 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-opab 4067  df-xp 4634

This theorem is referenced by:  xpex  4743  sqxpexg  4744  resiexg  4954  cnvexg  5168  coexg  5175  fex2  5386  fabexg  5405  resfunexgALT  6111  cofunexg  6112  fnexALT  6114  funexw  6115  opabex3d  6124  opabex3  6125  oprabexd  6130  ofmresex  6140  mpoexxg  6213  tposexg  6261  erex  6561  pmex  6655  mapex  6656  pmvalg  6661  elpmg  6666  fvdiagfn  6695  ixpexgg  6724  ixpsnf1o  6738  map1  6814  xpdom2  6833  xpdom3m  6836  xpen  6847  mapxpen  6850  xpfi  6931  djuex  7044  djuassen  7218  cc2lem  7267  shftfvalg  10829  climconst2  11301  releqgg  13085  eqgfval  13086  reldvdsrsrg  13266  dvdsrvald  13267  dvdsrex  13272  aprval  13377  aprap  13381  lmfval  13731  txbasex  13796  txopn  13804  txcn  13814  txrest  13815  blfvalps  13924  xmetxp  14046  limccnp2lem  14184  limccnp2cntop  14185  dvfvalap  14189