Theorem rnexg 4989

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4530	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4530	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3368	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4987	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3233	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 4223	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   C_ wss 3197   U.cuni 3888   dom cdm 4719   ran crn 4720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730

This theorem is referenced by:  rnex  4992  imaexg  5082  xpexr2m  5170  elxp4  5216  elxp5  5217  cnvexg  5266  coexg  5273  fvexg  5646  cofunexg  6254  funrnex  6259  abrexexg  6263  2ndvalg  6289  tposexg  6404  iunon  6430  fopwdom  6997  djuexb  7211  shftfvalg  11329  ovshftex  11330  restval  13278  ptex  13297  imasex  13338  txvalex  14928  txval  14929  blbas  15107  xmettxlem  15183  xmettx  15184  edgvalg  15860  edgopval  15862  edgstruct  15864  usgrausgrien  15967  ausgrumgrien  15968  ausgrusgrien  15969