Theorem rnexg 5049

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4587	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4587	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3393	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 5047	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3257	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 4274	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 428	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   U.cuni 3935   dom cdm 4776   ran crn 4777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787

This theorem is used by:  rnex  5052  imaexg  5143  xpexr2m  5232  elxp4  5278  elxp5  5279  cnvexg  5328  coexg  5335  fvexg  5717  cofunexg  6342  funrnex  6347  abrexexg  6351  2ndvalg  6381  tposexg  6534  iunon  6560  fopwdom  7142  djuexb  7390  shftfvalg  11604  ovshftex  11605  restval  13657  ptex  13676  imasex  13684  txvalex  15497  txval  15498  blbas  15676  xmettxlem  15752  xmettx  15753  edgvalg  16522  edgopval  16525  edgstruct  16527  usgrausgrien  16632  ausgrumgrien  16633  ausgrusgrien  16634