Theorem rnexg 4698

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4265	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4265	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3164	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4696	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3034	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 3978	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 415	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   u. cun 2997   C_ wss 2999   U.cuni 3653   dom cdm 4438   ran crn 4439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449

This theorem is referenced by:  rnex  4700  imaexg  4786  xpexr2m  4872  elxp4  4918  elxp5  4919  cnvexg  4968  coexg  4975  fvexg  5324  cofunexg  5882  funrnex  5885  abrexexg  5889  2ndvalg  5914  tposexg  6023  iunon  6049  fopwdom  6552  focdmex  10195  shftfvalg  10252  ovshftex  10253