Theorem rnexg 4892

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4439	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4439	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3299	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4890	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3164	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 4142	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   u. cun 3127   C_ wss 3129   U.cuni 3809   dom cdm 4626   ran crn 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-cnv 4634  df-dm 4636  df-rn 4637

This theorem is referenced by:  rnex  4894  imaexg  4982  xpexr2m  5070  elxp4  5116  elxp5  5117  cnvexg  5166  coexg  5173  fvexg  5534  cofunexg  6109  funrnex  6114  abrexexg  6118  2ndvalg  6143  tposexg  6258  iunon  6284  fopwdom  6835  djuexb  7042  shftfvalg  10826  ovshftex  10827  restval  12693  ptex  12712  imasex  12725  txvalex  13724  txval  13725  blbas  13903  xmettxlem  13979  xmettx  13980