Theorem rnexg 4852

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4400	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4400	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3271	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4850	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3137	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 4104	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 421	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   u. cun 3100   C_ wss 3102   U.cuni 3773   dom cdm 4587   ran crn 4588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-cnv 4595  df-dm 4597  df-rn 4598

This theorem is referenced by:  rnex  4854  imaexg  4941  xpexr2m  5028  elxp4  5074  elxp5  5075  cnvexg  5124  coexg  5131  fvexg  5488  cofunexg  6060  funrnex  6063  abrexexg  6067  2ndvalg  6092  tposexg  6206  iunon  6232  fopwdom  6782  djuexb  6989  focdmex  10665  shftfvalg  10722  ovshftex  10723  restval  12399  txvalex  12696  txval  12697  blbas  12875  xmettxlem  12951  xmettx  12952