Theorem rnexg 5022

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4560	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4560	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3383	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 5020	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3247	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 4249	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   u. cun 3209   C_ wss 3211   U.cuni 3914   dom cdm 4749   ran crn 4750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760

This theorem is referenced by:  rnex  5025  imaexg  5115  xpexr2m  5204  elxp4  5250  elxp5  5251  cnvexg  5300  coexg  5307  fvexg  5689  cofunexg  6302  funrnex  6307  abrexexg  6311  2ndvalg  6337  tposexg  6489  iunon  6515  fopwdom  7089  djuexb  7335  shftfvalg  11503  ovshftex  11504  restval  13458  ptex  13477  imasex  13518  txvalex  15119  txval  15120  blbas  15298  xmettxlem  15374  xmettx  15375  edgvalg  16054  edgopval  16057  edgstruct  16059  usgrausgrien  16164  ausgrumgrien  16165  ausgrusgrien  16166