Theorem rnexg 4889

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4437	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4437	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3299	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4887	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3164	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 4140	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   u. cun 3127   C_ wss 3129   U.cuni 3808   dom cdm 4624   ran crn 4625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-cnv 4632  df-dm 4634  df-rn 4635

This theorem is referenced by:  rnex  4891  imaexg  4979  xpexr2m  5067  elxp4  5113  elxp5  5114  cnvexg  5163  coexg  5170  fvexg  5531  cofunexg  6105  funrnex  6110  abrexexg  6114  2ndvalg  6139  tposexg  6254  iunon  6280  fopwdom  6831  djuexb  7038  shftfvalg  10818  ovshftex  10819  restval  12680  txvalex  13536  txval  13537  blbas  13715  xmettxlem  13791  xmettx  13792