Theorem rnexg 4997

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4536	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4536	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3371	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4995	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3236	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 4228	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   u. cun 3198   C_ wss 3200   U.cuni 3893   dom cdm 4725   ran crn 4726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736

This theorem is referenced by:  rnex  5000  imaexg  5090  xpexr2m  5178  elxp4  5224  elxp5  5225  cnvexg  5274  coexg  5281  fvexg  5658  cofunexg  6271  funrnex  6276  abrexexg  6280  2ndvalg  6306  tposexg  6424  iunon  6450  fopwdom  7022  djuexb  7243  shftfvalg  11380  ovshftex  11381  restval  13330  ptex  13349  imasex  13390  txvalex  14981  txval  14982  blbas  15160  xmettxlem  15236  xmettx  15237  edgvalg  15913  edgopval  15916  edgstruct  15918  usgrausgrien  16023  ausgrumgrien  16024  ausgrusgrien  16025