Theorem rnexg 4812

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4369	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4369	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3245	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4810	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3111	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 4075	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 421	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   u. cun 3074   C_ wss 3076   U.cuni 3744   dom cdm 4547   ran crn 4548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558

This theorem is referenced by:  rnex  4814  imaexg  4901  xpexr2m  4988  elxp4  5034  elxp5  5035  cnvexg  5084  coexg  5091  fvexg  5448  cofunexg  6017  funrnex  6020  abrexexg  6024  2ndvalg  6049  tposexg  6163  iunon  6189  fopwdom  6738  djuexb  6937  focdmex  10565  shftfvalg  10622  ovshftex  10623  restval  12165  txvalex  12462  txval  12463  blbas  12641  xmettxlem  12717  xmettx  12718