Theorem rnexg 4931

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4474	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4474	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3327	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4929	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3192	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 4172	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   C_ wss 3157   U.cuni 3839   dom cdm 4663   ran crn 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674

This theorem is referenced by:  rnex  4933  imaexg  5023  xpexr2m  5111  elxp4  5157  elxp5  5158  cnvexg  5207  coexg  5214  fvexg  5577  cofunexg  6166  funrnex  6171  abrexexg  6175  2ndvalg  6201  tposexg  6316  iunon  6342  fopwdom  6897  djuexb  7110  shftfvalg  10983  ovshftex  10984  restval  12916  ptex  12935  imasex  12948  txvalex  14490  txval  14491  blbas  14669  xmettxlem  14745  xmettx  14746