Theorem climcncf 13365

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcncf.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climcncf.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climcncf.4	|- ( ph -> F e. ( A -cn-> B ) )
climcncf.5	|- ( ph -> G : Z --> A )
climcncf.6	|- ( ph -> G ~~> D )
climcncf.7	|- ( ph -> D e. A )

Assertion

Ref	Expression
climcncf	|- ( ph -> ( F o. G ) ~~> ( F ` D ) )

Proof of Theorem climcncf

Dummy variables y z x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcncf.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climcncf.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climcncf.7	. 2 |- ( ph -> D e. A )
4		climcncf.4	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( A -cn-> B ) )
5		cncff 13358	. . . . 5 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> F : A --> B )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> B )
7	6	ffvelrnda 5631	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
8		cncfrss2 13357	. . . . 5 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )
9	4, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> B C_ CC )
10	9	sselda 3147	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` z ) e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
11	7, 10	syldan 280	. 2 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
12		climcncf.6	. 2 |- ( ph -> G ~~> D )
13		climcncf.5	. . . 4 |- ( ph -> G : Z --> A )
14		zex 9221	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
15		uzssz 9506	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
16	14, 15	ssexi 4127	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
17	1, 16	eqeltri 2243	. . . 4 |- Z e. _V
18		fex 5725	. . . 4 |- ( ( G : Z --> A /\ Z e. _V ) -> G e. _V )
19	13, 17, 18	sylancl 411	. . 3 |- ( ph -> G e. _V )
20		coexg 5155	. . 3 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ G e. _V ) -> ( F o. G ) e. _V )
21	4, 19, 20	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( F o. G ) e. _V )
22		cncfi 13359	. . . . 5 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ D e. A /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) )
23	22	3expia 1200	. . . 4 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ D e. A ) -> ( x e. RR+ -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) ) )
24	4, 3, 23	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) ) )
25	24	imp 123	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) )
26	13	ffvelrnda 5631	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. A )
27		fvco3 5567	. . 3 |- ( ( G : Z --> A /\ k e. Z ) -> ( ( F o. G ) ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
28	13, 27	sylan 281	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F o. G ) ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
29	1, 2, 3, 11, 12, 21, 25, 26, 28	climcn1 11271	1 |- ( ph -> ( F o. G ) ~~> ( F ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   o. ccom 4615   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   < clt 7954   - cmin 8090   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   RR+crp 9610   abscabs 10961   ~~> cli 11241   -cn->ccncf 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-cncf 13352

This theorem is referenced by: (None)