Theorem climcncf 14904

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcncf.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climcncf.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climcncf.4	|- ( ph -> F e. ( A -cn-> B ) )
climcncf.5	|- ( ph -> G : Z --> A )
climcncf.6	|- ( ph -> G ~~> D )
climcncf.7	|- ( ph -> D e. A )

Assertion

Ref	Expression
climcncf	|- ( ph -> ( F o. G ) ~~> ( F ` D ) )

Proof of Theorem climcncf

Dummy variables y z x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcncf.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climcncf.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climcncf.7	. 2 |- ( ph -> D e. A )
4		climcncf.4	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( A -cn-> B ) )
5		cncff 14897	. . . . 5 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> F : A --> B )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> B )
7	6	ffvelcdmda 5700	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
8		cncfrss2 14896	. . . . 5 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )
9	4, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> B C_ CC )
10	9	sselda 3184	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` z ) e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
11	7, 10	syldan 282	. 2 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
12		climcncf.6	. 2 |- ( ph -> G ~~> D )
13		climcncf.5	. . . 4 |- ( ph -> G : Z --> A )
14		zex 9352	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
15		uzssz 9638	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
16	14, 15	ssexi 4172	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
17	1, 16	eqeltri 2269	. . . 4 |- Z e. _V
18		fex 5794	. . . 4 |- ( ( G : Z --> A /\ Z e. _V ) -> G e. _V )
19	13, 17, 18	sylancl 413	. . 3 |- ( ph -> G e. _V )
20		coexg 5215	. . 3 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ G e. _V ) -> ( F o. G ) e. _V )
21	4, 19, 20	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F o. G ) e. _V )
22		cncfi 14898	. . . . 5 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ D e. A /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) )
23	22	3expia 1207	. . . 4 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ D e. A ) -> ( x e. RR+ -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) ) )
24	4, 3, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) ) )
25	24	imp 124	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) )
26	13	ffvelcdmda 5700	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. A )
27		fvco3 5635	. . 3 |- ( ( G : Z --> A /\ k e. Z ) -> ( ( F o. G ) ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
28	13, 27	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F o. G ) ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
29	1, 2, 3, 11, 12, 21, 25, 26, 28	climcn1 11490	1 |- ( ph -> ( F o. G ) ~~> ( F ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   o. ccom 4668   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   < clt 8078   - cmin 8214   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   RR+crp 9745   abscabs 11179   ~~> cli 11460   -cn->ccncf 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-cncf 14891

This theorem is referenced by: (None)