Theorem climcncf 12942

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcncf.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climcncf.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climcncf.4	|- ( ph -> F e. ( A -cn-> B ) )
climcncf.5	|- ( ph -> G : Z --> A )
climcncf.6	|- ( ph -> G ~~> D )
climcncf.7	|- ( ph -> D e. A )

Assertion

Ref	Expression
climcncf	|- ( ph -> ( F o. G ) ~~> ( F ` D ) )

Proof of Theorem climcncf

Dummy variables y z x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcncf.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climcncf.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climcncf.7	. 2 |- ( ph -> D e. A )
4		climcncf.4	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( A -cn-> B ) )
5		cncff 12935	. . . . 5 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> F : A --> B )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> B )
7	6	ffvelrnda 5601	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
8		cncfrss2 12934	. . . . 5 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )
9	4, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> B C_ CC )
10	9	sselda 3128	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` z ) e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
11	7, 10	syldan 280	. 2 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
12		climcncf.6	. 2 |- ( ph -> G ~~> D )
13		climcncf.5	. . . 4 |- ( ph -> G : Z --> A )
14		zex 9170	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
15		uzssz 9452	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
16	14, 15	ssexi 4102	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
17	1, 16	eqeltri 2230	. . . 4 |- Z e. _V
18		fex 5693	. . . 4 |- ( ( G : Z --> A /\ Z e. _V ) -> G e. _V )
19	13, 17, 18	sylancl 410	. . 3 |- ( ph -> G e. _V )
20		coexg 5129	. . 3 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ G e. _V ) -> ( F o. G ) e. _V )
21	4, 19, 20	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( F o. G ) e. _V )
22		cncfi 12936	. . . . 5 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ D e. A /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) )
23	22	3expia 1187	. . . 4 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ D e. A ) -> ( x e. RR+ -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) ) )
24	4, 3, 23	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) ) )
25	24	imp 123	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) )
26	13	ffvelrnda 5601	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. A )
27		fvco3 5538	. . 3 |- ( ( G : Z --> A /\ k e. Z ) -> ( ( F o. G ) ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
28	13, 27	sylan 281	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F o. G ) ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
29	1, 2, 3, 11, 12, 21, 25, 26, 28	climcn1 11198	1 |- ( ph -> ( F o. G ) ~~> ( F ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   class class class wbr 3965   o. ccom 4589   -->wf 5165   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   CCcc 7724   < clt 7906   - cmin 8040   ZZcz 9161   ZZ>=cuz 9433   RR+crp 9553   abscabs 10890   ~~> cli 11168   -cn->ccncf 12928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-map 6592  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-cncf 12929

This theorem is referenced by: (None)