Theorem climcncf 12779

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcncf.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climcncf.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climcncf.4	|- ( ph -> F e. ( A -cn-> B ) )
climcncf.5	|- ( ph -> G : Z --> A )
climcncf.6	|- ( ph -> G ~~> D )
climcncf.7	|- ( ph -> D e. A )

Assertion

Ref	Expression
climcncf	|- ( ph -> ( F o. G ) ~~> ( F ` D ) )

Proof of Theorem climcncf

Dummy variables y z x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcncf.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climcncf.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climcncf.7	. 2 |- ( ph -> D e. A )
4		climcncf.4	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( A -cn-> B ) )
5		cncff 12772	. . . . 5 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> F : A --> B )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> B )
7	6	ffvelrnda 5563	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
8		cncfrss2 12771	. . . . 5 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )
9	4, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> B C_ CC )
10	9	sselda 3102	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` z ) e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
11	7, 10	syldan 280	. 2 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
12		climcncf.6	. 2 |- ( ph -> G ~~> D )
13		climcncf.5	. . . 4 |- ( ph -> G : Z --> A )
14		zex 9087	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
15		uzssz 9369	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
16	14, 15	ssexi 4074	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
17	1, 16	eqeltri 2213	. . . 4 |- Z e. _V
18		fex 5655	. . . 4 |- ( ( G : Z --> A /\ Z e. _V ) -> G e. _V )
19	13, 17, 18	sylancl 410	. . 3 |- ( ph -> G e. _V )
20		coexg 5091	. . 3 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ G e. _V ) -> ( F o. G ) e. _V )
21	4, 19, 20	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( F o. G ) e. _V )
22		cncfi 12773	. . . . 5 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ D e. A /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) )
23	22	3expia 1184	. . . 4 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ D e. A ) -> ( x e. RR+ -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) ) )
24	4, 3, 23	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) ) )
25	24	imp 123	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( abs ` ( z - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` D ) ) ) < x ) )
26	13	ffvelrnda 5563	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. A )
27		fvco3 5500	. . 3 |- ( ( G : Z --> A /\ k e. Z ) -> ( ( F o. G ) ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
28	13, 27	sylan 281	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F o. G ) ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
29	1, 2, 3, 11, 12, 21, 25, 26, 28	climcn1 11109	1 |- ( ph -> ( F o. G ) ~~> ( F ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   o. ccom 4551   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   < clt 7824   - cmin 7957   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   RR+crp 9470   abscabs 10801   ~~> cli 11079   -cn->ccncf 12765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-map 6552  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-cncf 12766

This theorem is referenced by: (None)