Theorem dfer2 6438

Description: Alternate definition of equivalence predicate. (Contributed by NM, 3-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfer2	|- ( R Er A <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, R

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem dfer2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-er 6437	. 2 |- ( R Er A <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R ) )
2		cnvsym 4930	. . . . 5 |- ( `' R C_ R <-> A. x A. y ( x R y -> y R x ) )
3		cotr 4928	. . . . 5 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
4	2, 3	anbi12i 456	. . . 4 |- ( ( `' R C_ R /\ ( R o. R ) C_ R ) <-> ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
5		unss 3255	. . . 4 |- ( ( `' R C_ R /\ ( R o. R ) C_ R ) <-> ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R )
6		19.28v 1873	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( ( x R y -> y R x ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
7	6	albii 1447	. . . . . . 7 |- ( A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y ( ( x R y -> y R x ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
8		19.26 1458	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( x R y -> y R x ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
9	7, 8	bitri 183	. . . . . 6 |- ( A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
10	9	albii 1447	. . . . 5 |- ( A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
11		19.26 1458	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
12	10, 11	bitr2i 184	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
13	4, 5, 12	3bitr3i 209	. . 3 |- ( ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
14	13	3anbi3i 1175	. 2 |- ( ( Rel R /\ dom R = A /\ ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R ) <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
15	1, 14	bitri 183	1 |- ( R Er A <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   A.wal 1330   = wceq 1332   u. cun 3074   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   `'ccnv 4546   dom cdm 4547   o. ccom 4551   Rel wrel 4552   Er wer 6434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-er 6437

This theorem is referenced by:  iserd  6463