Theorem dfer2 6309

Description: Alternate definition of equivalence predicate. (Contributed by NM, 3-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfer2	|- ( R Er A <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, R

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem dfer2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-er 6308	. 2 |- ( R Er A <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R ) )
2		cnvsym 4830	. . . . 5 |- ( `' R C_ R <-> A. x A. y ( x R y -> y R x ) )
3		cotr 4828	. . . . 5 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
4	2, 3	anbi12i 449	. . . 4 |- ( ( `' R C_ R /\ ( R o. R ) C_ R ) <-> ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
5		unss 3177	. . . 4 |- ( ( `' R C_ R /\ ( R o. R ) C_ R ) <-> ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R )
6		19.28v 1829	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( ( x R y -> y R x ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
7	6	albii 1405	. . . . . . 7 |- ( A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y ( ( x R y -> y R x ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
8		19.26 1416	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( x R y -> y R x ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
9	7, 8	bitri 183	. . . . . 6 |- ( A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
10	9	albii 1405	. . . . 5 |- ( A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
11		19.26 1416	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
12	10, 11	bitr2i 184	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
13	4, 5, 12	3bitr3i 209	. . 3 |- ( ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
14	13	3anbi3i 1137	. 2 |- ( ( Rel R /\ dom R = A /\ ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R ) <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
15	1, 14	bitri 183	1 |- ( R Er A <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 925   A.wal 1288   = wceq 1290   u. cun 3000   C_ wss 3002   class class class wbr 3853   `'ccnv 4453   dom cdm 4454   o. ccom 4458   Rel wrel 4459   Er wer 6305

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2624  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-br 3854  df-opab 3908  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-er 6308

This theorem is referenced by:  iserd  6334