Theorem dfer2 6423

Description: Alternate definition of equivalence predicate. (Contributed by NM, 3-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfer2	|- ( R Er A <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, R

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem dfer2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-er 6422	. 2 |- ( R Er A <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R ) )
2		cnvsym 4917	. . . . 5 |- ( `' R C_ R <-> A. x A. y ( x R y -> y R x ) )
3		cotr 4915	. . . . 5 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
4	2, 3	anbi12i 455	. . . 4 |- ( ( `' R C_ R /\ ( R o. R ) C_ R ) <-> ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
5		unss 3245	. . . 4 |- ( ( `' R C_ R /\ ( R o. R ) C_ R ) <-> ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R )
6		19.28v 1872	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( ( x R y -> y R x ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
7	6	albii 1446	. . . . . . 7 |- ( A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y ( ( x R y -> y R x ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
8		19.26 1457	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( x R y -> y R x ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
9	7, 8	bitri 183	. . . . . 6 |- ( A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
10	9	albii 1446	. . . . 5 |- ( A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
11		19.26 1457	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
12	10, 11	bitr2i 184	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
13	4, 5, 12	3bitr3i 209	. . 3 |- ( ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
14	13	3anbi3i 1174	. 2 |- ( ( Rel R /\ dom R = A /\ ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R ) <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
15	1, 14	bitri 183	1 |- ( R Er A <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   A.wal 1329   = wceq 1331   u. cun 3064   C_ wss 3066   class class class wbr 3924   `'ccnv 4533   dom cdm 4534   o. ccom 4538   Rel wrel 4539   Er wer 6419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-er 6422

This theorem is referenced by:  iserd  6448