Theorem dfer2 6621

Description: Alternate definition of equivalence predicate. (Contributed by NM, 3-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfer2	|- ( R Er A <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, R

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem dfer2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-er 6620	. 2 |- ( R Er A <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R ) )
2		cnvsym 5066	. . . . 5 |- ( `' R C_ R <-> A. x A. y ( x R y -> y R x ) )
3		cotr 5064	. . . . 5 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
4	2, 3	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( `' R C_ R /\ ( R o. R ) C_ R ) <-> ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
5		unss 3347	. . . 4 |- ( ( `' R C_ R /\ ( R o. R ) C_ R ) <-> ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R )
6		19.28v 1924	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( ( x R y -> y R x ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
7	6	albii 1493	. . . . . . 7 |- ( A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y ( ( x R y -> y R x ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
8		19.26 1504	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( x R y -> y R x ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
9	7, 8	bitri 184	. . . . . 6 |- ( A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
10	9	albii 1493	. . . . 5 |- ( A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
11		19.26 1504	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
12	10, 11	bitr2i 185	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
13	4, 5, 12	3bitr3i 210	. . 3 |- ( ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
14	13	3anbi3i 1195	. 2 |- ( ( Rel R /\ dom R = A /\ ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R ) <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
15	1, 14	bitri 184	1 |- ( R Er A <-> ( Rel R /\ dom R = A /\ A. x A. y A. z ( ( x R y -> y R x ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   A.wal 1371   = wceq 1373   u. cun 3164   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   `'ccnv 4674   dom cdm 4675   o. ccom 4679   Rel wrel 4680   Er wer 6617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-er 6620

This theorem is referenced by:  iserd  6646