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Theorem dfer2 6550
Description: Alternate definition of equivalence predicate. (Contributed by NM, 3-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfer2  |-  ( R  Er  A  <->  ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, R
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem dfer2
StepHypRef Expression
1 df-er 6549 . 2  |-  ( R  Er  A  <->  ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  ( `' R  u.  ( R  o.  R ) ) 
C_  R ) )
2 cnvsym 5024 . . . . 5  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
3 cotr 5022 . . . . 5  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
42, 3anbi12i 460 . . . 4  |-  ( ( `' R  C_  R  /\  ( R  o.  R
)  C_  R )  <->  ( A. x A. y
( x R y  ->  y R x )  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
5 unss 3321 . . . 4  |-  ( ( `' R  C_  R  /\  ( R  o.  R
)  C_  R )  <->  ( `' R  u.  ( R  o.  R )
)  C_  R )
6 19.28v 1910 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( ( x R y  ->  y R x )  /\  A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
76albii 1480 . . . . . . 7  |-  ( A. y A. z ( ( x R y  -> 
y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. y ( ( x R y  ->  y R x )  /\  A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
8 19.26 1491 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( x R y  ->  y R x )  /\  A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( A. y ( x R y  -> 
y R x )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
97, 8bitri 184 . . . . . 6  |-  ( A. y A. z ( ( x R y  -> 
y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( A. y ( x R y  -> 
y R x )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
109albii 1480 . . . . 5  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x R y  ->  y R x )  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. x
( A. y ( x R y  -> 
y R x )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
11 19.26 1491 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y
( x R y  ->  y R x )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  /\  A. x A. y A. z
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
1210, 11bitr2i 185 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y
( x R y  ->  y R x )  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
134, 5, 123bitr3i 210 . . 3  |-  ( ( `' R  u.  ( R  o.  R )
)  C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
14133anbi3i 1193 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  ( `' R  u.  ( R  o.  R )
)  C_  R )  <->  ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x R y  ->  y R x )  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) ) )
151, 14bitri 184 1  |-  ( R  Er  A  <->  ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 979   A.wal 1361    = wceq 1363    u. cun 3139    C_ wss 3141   class class class wbr 4015   `'ccnv 4637   dom cdm 4638    o. ccom 4642   Rel wrel 4643    Er wer 6546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-er 6549
This theorem is referenced by:  iserd  6575
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