Theorem dfer2 6802

Description: Alternate definition of equivalence predicate. (Contributed by NM, 3-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfer2	⊢ (𝑅 Er 𝐴 ↔ (Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem dfer2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-er 6801	. 2 ⊢ (𝑅 Er 𝐴 ↔ (Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝐴 ∧ (◡𝑅 ∪ (𝑅 ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑅))
2		cnvsym 5169	. . . . 5 ⊢ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥))
3		cotr 5167	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
4	2, 3	anbi12i 464	. . . 4 ⊢ ((◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
5		unss 3403	. . . 4 ⊢ ((◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (◡𝑅 ∪ (𝑅 ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑅)
6		19.28v 1956	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
7	6	albii 1523	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
8		19.26 1534	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
9	7, 8	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
10	9	albii 1523	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑥(∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
11		19.26 1534	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
12	10, 11	bitr2i 185	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
13	4, 5, 12	3bitr3i 210	. . 3 ⊢ ((◡𝑅 ∪ (𝑅 ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
14	13	3anbi3i 1223	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝐴 ∧ (◡𝑅 ∪ (𝑅 ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑅) ↔ (Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))))
15	1, 14	bitri 184	1 ⊢ (𝑅 Er 𝐴 ↔ (Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009  ∀wal 1400   = wceq 1402   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4128  ^◡ccnv 4771  dom cdm 4772   ∘ ccom 4776  Rel wrel 4777   Er wer 6798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-er 6801

This theorem is referenced by:  iserd  6827