Theorem cnvsym 4994

Description: Two ways of saying a relation is symmetric. Similar to definition of symmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsym	|- ( `' R C_ R <-> A. x A. y ( x R y -> y R x ) )

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem cnvsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alcom 1471	. 2 |- ( A. y A. x ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) <-> A. x A. y ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) )
2		relcnv 4989	. . 3 |- Rel `' R
3		ssrel 4699	. . 3 |- ( Rel `' R -> ( `' R C_ R <-> A. y A. x ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( `' R C_ R <-> A. y A. x ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) )
5		vex 2733	. . . . . 6 |- y e. _V
6		vex 2733	. . . . . 6 |- x e. _V
7	5, 6	brcnv 4794	. . . . 5 |- ( y `' R x <-> x R y )
8		df-br 3990	. . . . 5 |- ( y `' R x <-> <. y , x >. e. `' R )
9	7, 8	bitr3i 185	. . . 4 |- ( x R y <-> <. y , x >. e. `' R )
10		df-br 3990	. . . 4 |- ( y R x <-> <. y , x >. e. R )
11	9, 10	imbi12i 238	. . 3 |- ( ( x R y -> y R x ) <-> ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) )
12	11	2albii 1464	. 2 |- ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) <-> A. x A. y ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) )
13	1, 4, 12	3bitr4i 211	1 |- ( `' R C_ R <-> A. x A. y ( x R y -> y R x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1346   e. wcel 2141   C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989   `'ccnv 4610   Rel wrel 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619

This theorem is referenced by:  dfer2  6514