ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvsym Unicode version

Theorem cnvsym 4828
Description: Two ways of saying a relation is symmetric. Similar to definition of symmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cnvsym  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem cnvsym
StepHypRef Expression
1 alcom 1413 . 2  |-  ( A. y A. x ( <.
y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R
)  <->  A. x A. y
( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
2 relcnv 4823 . . 3  |-  Rel  `' R
3 ssrel 4539 . . 3  |-  ( Rel  `' R  ->  ( `' R  C_  R  <->  A. y A. x ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) ) )
42, 3ax-mp 7 . 2  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. y A. x ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
5 vex 2623 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
6 vex 2623 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
75, 6brcnv 4632 . . . . 5  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
8 df-br 3852 . . . . 5  |-  ( y `' R x  <->  <. y ,  x >.  e.  `' R )
97, 8bitr3i 185 . . . 4  |-  ( x R y  <->  <. y ,  x >.  e.  `' R )
10 df-br 3852 . . . 4  |-  ( y R x  <->  <. y ,  x >.  e.  R
)
119, 10imbi12i 238 . . 3  |-  ( ( x R y  -> 
y R x )  <-> 
( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
12112albii 1406 . 2  |-  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  <->  A. x A. y ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
131, 4, 123bitr4i 211 1  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104   A.wal 1288    e. wcel 1439    C_ wss 3000   <.cop 3453   class class class wbr 3851   `'ccnv 4451   Rel wrel 4457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460
This theorem is referenced by:  dfer2  6307
  Copyright terms: Public domain W3C validator