Theorem cnvsym 5112

Description: Two ways of saying a relation is symmetric. Similar to definition of symmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsym	|- ( `' R C_ R <-> A. x A. y ( x R y -> y R x ) )

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem cnvsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alcom 1524	. 2 |- ( A. y A. x ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) <-> A. x A. y ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) )
2		relcnv 5106	. . 3 |- Rel `' R
3		ssrel 4807	. . 3 |- ( Rel `' R -> ( `' R C_ R <-> A. y A. x ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( `' R C_ R <-> A. y A. x ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) )
5		vex 2802	. . . . . 6 |- y e. _V
6		vex 2802	. . . . . 6 |- x e. _V
7	5, 6	brcnv 4905	. . . . 5 |- ( y `' R x <-> x R y )
8		df-br 4084	. . . . 5 |- ( y `' R x <-> <. y , x >. e. `' R )
9	7, 8	bitr3i 186	. . . 4 |- ( x R y <-> <. y , x >. e. `' R )
10		df-br 4084	. . . 4 |- ( y R x <-> <. y , x >. e. R )
11	9, 10	imbi12i 239	. . 3 |- ( ( x R y -> y R x ) <-> ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) )
12	11	2albii 1517	. 2 |- ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) <-> A. x A. y ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) )
13	1, 4, 12	3bitr4i 212	1 |- ( `' R C_ R <-> A. x A. y ( x R y -> y R x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1393   e. wcel 2200   C_ wss 3197   <.cop 3669   class class class wbr 4083   `'ccnv 4718   Rel wrel 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727

This theorem is referenced by:  dfer2  6681