ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvsym Unicode version

Theorem cnvsym 4917
Description: Two ways of saying a relation is symmetric. Similar to definition of symmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cnvsym  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem cnvsym
StepHypRef Expression
1 alcom 1454 . 2  |-  ( A. y A. x ( <.
y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R
)  <->  A. x A. y
( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
2 relcnv 4912 . . 3  |-  Rel  `' R
3 ssrel 4622 . . 3  |-  ( Rel  `' R  ->  ( `' R  C_  R  <->  A. y A. x ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. y A. x ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
5 vex 2684 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
6 vex 2684 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
75, 6brcnv 4717 . . . . 5  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
8 df-br 3925 . . . . 5  |-  ( y `' R x  <->  <. y ,  x >.  e.  `' R )
97, 8bitr3i 185 . . . 4  |-  ( x R y  <->  <. y ,  x >.  e.  `' R )
10 df-br 3925 . . . 4  |-  ( y R x  <->  <. y ,  x >.  e.  R
)
119, 10imbi12i 238 . . 3  |-  ( ( x R y  -> 
y R x )  <-> 
( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
12112albii 1447 . 2  |-  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  <->  A. x A. y ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
131, 4, 123bitr4i 211 1  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104   A.wal 1329    e. wcel 1480    C_ wss 3066   <.cop 3525   class class class wbr 3924   `'ccnv 4533   Rel wrel 4539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542
This theorem is referenced by:  dfer2  6423
  Copyright terms: Public domain W3C validator