Theorem dff4im 5725

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff4im	|- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff4im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff3im 5724	. 2 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )
2		df-br 4044	. . . . . . . 8 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
3		ssel 3186	. . . . . . . . 9 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
4		opelxp2 4709	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> y e. B )
5	3, 4	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> y e. B ) )
6	2, 5	biimtrid 152	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y -> y e. B ) )
7	6	pm4.71rd 394	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y <-> ( y e. B /\ x F y ) ) )
8	7	eubidv 2061	. . . . 5 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E! y x F y <-> E! y ( y e. B /\ x F y ) ) )
9		df-reu 2490	. . . . 5 |- ( E! y e. B x F y <-> E! y ( y e. B /\ x F y ) )
10	8, 9	bitr4di 198	. . . 4 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E! y x F y <-> E! y e. B x F y ) )
11	10	ralbidv 2505	. . 3 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x e. A E! y e. B x F y ) )
12	11	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )
13	1, 12	sylib 122	1 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E!weu 2053   e. wcel 2175   A.wral 2483   E!wreu 2485   C_ wss 3165   <.cop 3635   class class class wbr 4043   X. cxp 4672   -->wf 5266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278

This theorem is referenced by: (None)