Theorem dff4im 5606

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff4im	|- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff4im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff3im 5605	. 2 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )
2		df-br 3962	. . . . . . . 8 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
3		ssel 3118	. . . . . . . . 9 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
4		opelxp2 4614	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> y e. B )
5	3, 4	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> y e. B ) )
6	2, 5	syl5bi 151	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y -> y e. B ) )
7	6	pm4.71rd 392	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y <-> ( y e. B /\ x F y ) ) )
8	7	eubidv 2011	. . . . 5 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E! y x F y <-> E! y ( y e. B /\ x F y ) ) )
9		df-reu 2439	. . . . 5 |- ( E! y e. B x F y <-> E! y ( y e. B /\ x F y ) )
10	8, 9	bitr4di 197	. . . 4 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E! y x F y <-> E! y e. B x F y ) )
11	10	ralbidv 2454	. . 3 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x e. A E! y e. B x F y ) )
12	11	pm5.32i 450	. 2 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )
13	1, 12	sylib 121	1 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E!weu 2003   e. wcel 2125   A.wral 2432   E!wreu 2434   C_ wss 3098   <.cop 3559   class class class wbr 3961   X. cxp 4577   -->wf 5159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-v 2711  df-sbc 2934  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171

This theorem is referenced by: (None)