ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dff4im Unicode version

Theorem dff4im 5534
Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dff4im  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dff4im
StepHypRef Expression
1 dff3im 5533 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
2 df-br 3900 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
3 ssel 3061 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) ) )
4 opelxp2 4544 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  y  e.  B )
53, 4syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  y  e.  B ) )
62, 5syl5bi 151 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  -> 
y  e.  B ) )
76pm4.71rd 391 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  <->  ( y  e.  B  /\  x F y ) ) )
87eubidv 1985 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E! y  x F
y  <->  E! y ( y  e.  B  /\  x F y ) ) )
9 df-reu 2400 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  B  x F y  <->  E! y
( y  e.  B  /\  x F y ) )
108, 9syl6bbr 197 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E! y  x F
y  <->  E! y  e.  B  x F y ) )
1110ralbidv 2414 . . 3  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x  e.  A  E! y  x F
y  <->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
1211pm5.32i 449 . 2  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  <-> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
131, 12sylib 121 1  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1465   E!weu 1977   A.wral 2393   E!wreu 2395    C_ wss 3041   <.cop 3500   class class class wbr 3899    X. cxp 4507   -->wf 5089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-v 2662  df-sbc 2883  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator