Theorem dff4im 5664

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff4im	|- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff4im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff3im 5663	. 2 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )
2		df-br 4006	. . . . . . . 8 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
3		ssel 3151	. . . . . . . . 9 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
4		opelxp2 4663	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> y e. B )
5	3, 4	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> y e. B ) )
6	2, 5	biimtrid 152	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y -> y e. B ) )
7	6	pm4.71rd 394	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y <-> ( y e. B /\ x F y ) ) )
8	7	eubidv 2034	. . . . 5 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E! y x F y <-> E! y ( y e. B /\ x F y ) ) )
9		df-reu 2462	. . . . 5 |- ( E! y e. B x F y <-> E! y ( y e. B /\ x F y ) )
10	8, 9	bitr4di 198	. . . 4 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E! y x F y <-> E! y e. B x F y ) )
11	10	ralbidv 2477	. . 3 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x e. A E! y e. B x F y ) )
12	11	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )
13	1, 12	sylib 122	1 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E!weu 2026   e. wcel 2148   A.wral 2455   E!wreu 2457   C_ wss 3131   <.cop 3597   class class class wbr 4005   X. cxp 4626   -->wf 5214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226

This theorem is referenced by: (None)