ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dff4im Unicode version

Theorem dff4im 5559
Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dff4im  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dff4im
StepHypRef Expression
1 dff3im 5558 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
2 df-br 3925 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
3 ssel 3086 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) ) )
4 opelxp2 4569 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  y  e.  B )
53, 4syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  y  e.  B ) )
62, 5syl5bi 151 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  -> 
y  e.  B ) )
76pm4.71rd 391 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  <->  ( y  e.  B  /\  x F y ) ) )
87eubidv 2005 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E! y  x F
y  <->  E! y ( y  e.  B  /\  x F y ) ) )
9 df-reu 2421 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  B  x F y  <->  E! y
( y  e.  B  /\  x F y ) )
108, 9syl6bbr 197 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E! y  x F
y  <->  E! y  e.  B  x F y ) )
1110ralbidv 2435 . . 3  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x  e.  A  E! y  x F
y  <->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
1211pm5.32i 449 . 2  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  <-> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
131, 12sylib 121 1  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1480   E!weu 1997   A.wral 2414   E!wreu 2416    C_ wss 3066   <.cop 3525   class class class wbr 3924    X. cxp 4532   -->wf 5114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator