Theorem dff3im 5779

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff3im	|- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff3im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5490	. 2 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
2		ffun 5475	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> Fun F )
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> Fun F )
4		fdm 5478	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
5	4	eleq2d 2299	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
6	5	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x e. dom F )
7		funfvop 5746	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
9		df-br 4083	. . . . . 6 |- ( x F ( F ` x ) <-> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
10	8, 9	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x F ( F ` x ) )
11		funfvex 5643	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
12		breq2 4086	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( x F y <-> x F ( F ` x ) ) )
13	12	spcegv 2891	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
14	11, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
15	3, 6, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
16	10, 15	mpd 13	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E. y x F y )
17		funmo 5332	. . . . . 6 |- ( Fun F -> E* y x F y )
18	2, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> E* y x F y )
19	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E* y x F y )
20		eu5 2125	. . . 4 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
21	16, 19, 20	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E! y x F y )
22	21	ralrimiva 2603	. 2 |- ( F : A --> B -> A. x e. A E! y x F y )
23	1, 22	jca 306	1 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1538   E!weu 2077   E*wmo 2078   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   <.cop 3669   class class class wbr 4082   X. cxp 4716   dom cdm 4718   Fun wfun 5311   -->wf 5313   ` cfv 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325

This theorem is referenced by:  dff4im  5780