Theorem dff3im 5641

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff3im	|- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff3im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5365	. 2 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
2		ffun 5350	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> Fun F )
3	2	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> Fun F )
4		fdm 5353	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
5	4	eleq2d 2240	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
6	5	biimpar 295	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x e. dom F )
7		funfvop 5608	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
8	3, 6, 7	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
9		df-br 3990	. . . . . 6 |- ( x F ( F ` x ) <-> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
10	8, 9	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x F ( F ` x ) )
11		funfvex 5513	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
12		breq2 3993	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( x F y <-> x F ( F ` x ) ) )
13	12	spcegv 2818	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
14	11, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
15	3, 6, 14	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
16	10, 15	mpd 13	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E. y x F y )
17		funmo 5213	. . . . . 6 |- ( Fun F -> E* y x F y )
18	2, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> E* y x F y )
19	18	adantr 274	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E* y x F y )
20		eu5 2066	. . . 4 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
21	16, 19, 20	sylanbrc 415	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E! y x F y )
22	21	ralrimiva 2543	. 2 |- ( F : A --> B -> A. x e. A E! y x F y )
23	1, 22	jca 304	1 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1485   E!weu 2019   E*wmo 2020   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   dom cdm 4611   Fun wfun 5192   -->wf 5194   ` cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  dff4im  5642