Theorem dff3im 5573

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff3im	|- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff3im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5298	. 2 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
2		ffun 5283	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> Fun F )
3	2	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> Fun F )
4		fdm 5286	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
5	4	eleq2d 2210	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
6	5	biimpar 295	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x e. dom F )
7		funfvop 5540	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
8	3, 6, 7	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
9		df-br 3938	. . . . . 6 |- ( x F ( F ` x ) <-> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
10	8, 9	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x F ( F ` x ) )
11		funfvex 5446	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
12		breq2 3941	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( x F y <-> x F ( F ` x ) ) )
13	12	spcegv 2777	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
14	11, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
15	3, 6, 14	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
16	10, 15	mpd 13	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E. y x F y )
17		funmo 5146	. . . . . 6 |- ( Fun F -> E* y x F y )
18	2, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> E* y x F y )
19	18	adantr 274	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E* y x F y )
20		eu5 2047	. . . 4 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
21	16, 19, 20	sylanbrc 414	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E! y x F y )
22	21	ralrimiva 2508	. 2 |- ( F : A --> B -> A. x e. A E! y x F y )
23	1, 22	jca 304	1 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1469   e. wcel 1481   E!weu 2000   E*wmo 2001   A.wral 2417   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   <.cop 3535   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   dom cdm 4547   Fun wfun 5125   -->wf 5127   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  dff4im  5574