Theorem dff3im 5822

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff3im	|- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff3im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5530	. 2 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
2		ffun 5511	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> Fun F )
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> Fun F )
4		fdm 5514	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
5	4	eleq2d 2302	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
6	5	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x e. dom F )
7		funfvop 5790	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
9		df-br 4110	. . . . . 6 |- ( x F ( F ` x ) <-> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
10	8, 9	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x F ( F ` x ) )
11		funfvex 5687	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
12		breq2 4113	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( x F y <-> x F ( F ` x ) ) )
13	12	spcegv 2905	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
14	11, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
15	3, 6, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
16	10, 15	mpd 13	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E. y x F y )
17		funmo 5367	. . . . . 6 |- ( Fun F -> E* y x F y )
18	2, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> E* y x F y )
19	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E* y x F y )
20		eu5 2128	. . . 4 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
21	16, 19, 20	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E! y x F y )
22	21	ralrimiva 2615	. 2 |- ( F : A --> B -> A. x e. A E! y x F y )
23	1, 22	jca 306	1 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1541   E!weu 2080   E*wmo 2081   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   <.cop 3692   class class class wbr 4109   X. cxp 4747   dom cdm 4749   Fun wfun 5346   -->wf 5348   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  dff4im  5823