ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dff3im Unicode version

Theorem dff3im 5531
Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dff3im  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dff3im
StepHypRef Expression
1 fssxp 5258 . 2  |-  ( F : A --> B  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
2 ffun 5243 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
32adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  Fun  F )
4 fdm 5246 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
54eleq2d 2185 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> B  -> 
( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  A ) )
65biimpar 293 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  F
)
7 funfvop 5498 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  <. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
83, 6, 7syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  -> 
<. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
9 df-br 3898 . . . . . 6  |-  ( x F ( F `  x )  <->  <. x ,  ( F `  x
) >.  e.  F )
108, 9sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x F ( F `
 x ) )
11 funfvex 5404 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  _V )
12 breq2 3901 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
x F y  <->  x F
( F `  x
) ) )
1312spcegv 2746 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  e.  _V  ->  (
x F ( F `
 x )  ->  E. y  x F
y ) )
1411, 13syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( x F ( F `  x )  ->  E. y  x F y ) )
153, 6, 14syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( x F ( F `  x )  ->  E. y  x F y ) )
1610, 15mpd 13 . . . 4  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E. y  x F y )
17 funmo 5106 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  E* y  x F y )
182, 17syl 14 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  E* y  x F
y )
1918adantr 272 . . . 4  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E* y  x F y )
20 eu5 2022 . . . 4  |-  ( E! y  x F y  <-> 
( E. y  x F y  /\  E* y  x F y ) )
2116, 19, 20sylanbrc 411 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E! y  x F y )
2221ralrimiva 2480 . 2  |-  ( F : A --> B  ->  A. x  e.  A  E! y  x F
y )
231, 22jca 302 1  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   E.wex 1451    e. wcel 1463   E!weu 1975   E*wmo 1976   A.wral 2391   _Vcvv 2658    C_ wss 3039   <.cop 3498   class class class wbr 3897    X. cxp 4505   dom cdm 4507   Fun wfun 5085   -->wf 5087   ` cfv 5091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099
This theorem is referenced by:  dff4im  5532
  Copyright terms: Public domain W3C validator