Theorem dff4im 5484

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff4im	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dff4im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff3im 5483	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))
2		df-br 3868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝐹𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹)
3		ssel 3033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵)))
4		opelxp2 4502	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl6 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ 𝐵))
6	2, 5	syl5bi 151	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (𝑥𝐹𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
7	6	pm4.71rd 387	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (𝑥𝐹𝑦 ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
8	7	eubidv 1963	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∃!𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
9		df-reu 2377	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∃!𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝐹𝑦))
10	8, 9	syl6bbr 197	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))
11	10	ralbidv 2391	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))
12	11	pm5.32i 443	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦) ↔ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))
13	1, 12	sylib 121	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1445  ∃!weu 1955  ∀wral 2370  ∃!wreu 2372   ⊆ wss 3013  ⟨cop 3469   class class class wbr 3867   × cxp 4465  ⟶wf 5045

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057

This theorem is referenced by: (None)