Theorem dffo3 5750

Description: An onto mapping expressed in terms of function values. (Contributed by NM, 29-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
dffo3	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo2 5524	. 2 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ ran F = B ) )
2		ffn 5445	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
3		fnrnfv 5648	. . . . . 6 |- ( F Fn A -> ran F = { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } )
4	3	eqeq1d 2216	. . . . 5 |- ( F Fn A -> ( ran F = B <-> { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B ) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( ran F = B <-> { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B ) )
6		dfbi2 388	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) <-> ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) /\ ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) )
7		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A --> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> y = ( F ` x ) )
8		ffvelcdm 5736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A --> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. B )
10	7, 9	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A --> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> y e. B )
11	10	exp31 364	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( x e. A -> ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
12	11	rexlimdv 2624	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
13	12	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) <-> ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) /\ ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) ) )
14	6, 13	bitr4id 199	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) <-> ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) )
15	14	albidv 1848	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( A. y ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) <-> A. y ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) )
16		abeq1 2317	. . . . 5 |- ( { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B <-> A. y ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) )
17		df-ral 2491	. . . . 5 |- ( A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) <-> A. y ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B <-> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
19	5, 18	bitrd 188	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ran F = B <-> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
20	19	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
21	1, 20	bitri 184	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   E.wrex 2487   ran crn 4694   Fn wfn 5285   -->wf 5286   -onto->wfo 5288   ` cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fo 5296  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  dffo4  5751  foco2  5845  fcofo  5876  foov  6116  0ct  7235  ctmlemr  7236  ctm  7237  ctssdclemn0  7238  ctssdccl  7239  enumctlemm  7242  cnref1o  9807  nninfctlemfo  12476  1arith  12805  ctiunctlemfo  12925  znf1o  14528  ioocosf1o  15441  mpodvdsmulf1o  15577