Theorem dffo3 5665

Description: An onto mapping expressed in terms of function values. (Contributed by NM, 29-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
dffo3	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo2 5444	. 2 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ ran F = B ) )
2		ffn 5367	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
3		fnrnfv 5564	. . . . . 6 |- ( F Fn A -> ran F = { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } )
4	3	eqeq1d 2186	. . . . 5 |- ( F Fn A -> ( ran F = B <-> { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B ) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( ran F = B <-> { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B ) )
6		dfbi2 388	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) <-> ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) /\ ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) )
7		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A --> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> y = ( F ` x ) )
8		ffvelcdm 5651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A --> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. B )
10	7, 9	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A --> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> y e. B )
11	10	exp31 364	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( x e. A -> ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
12	11	rexlimdv 2593	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
13	12	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) <-> ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) /\ ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) ) )
14	6, 13	bitr4id 199	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) <-> ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) )
15	14	albidv 1824	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( A. y ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) <-> A. y ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) )
16		abeq1 2287	. . . . 5 |- ( { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B <-> A. y ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) )
17		df-ral 2460	. . . . 5 |- ( A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) <-> A. y ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B <-> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
19	5, 18	bitrd 188	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ran F = B <-> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
20	19	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
21	1, 20	bitri 184	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   ran crn 4629   Fn wfn 5213   -->wf 5214   -onto->wfo 5216   ` cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fo 5224  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  dffo4  5666  foco2  5756  fcofo  5787  foov  6023  0ct  7108  ctmlemr  7109  ctm  7110  ctssdclemn0  7111  ctssdccl  7112  enumctlemm  7115  cnref1o  9652  1arith  12367  ctiunctlemfo  12442  ioocosf1o  14360