Theorem dffo3 5727

Description: An onto mapping expressed in terms of function values. (Contributed by NM, 29-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
dffo3	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo2 5502	. 2 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ ran F = B ) )
2		ffn 5425	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
3		fnrnfv 5625	. . . . . 6 |- ( F Fn A -> ran F = { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } )
4	3	eqeq1d 2214	. . . . 5 |- ( F Fn A -> ( ran F = B <-> { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B ) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( ran F = B <-> { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B ) )
6		dfbi2 388	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) <-> ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) /\ ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) )
7		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A --> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> y = ( F ` x ) )
8		ffvelcdm 5713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A --> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. B )
10	7, 9	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A --> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> y e. B )
11	10	exp31 364	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( x e. A -> ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
12	11	rexlimdv 2622	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
13	12	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) <-> ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) /\ ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) ) )
14	6, 13	bitr4id 199	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) <-> ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) )
15	14	albidv 1847	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( A. y ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) <-> A. y ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) )
16		abeq1 2315	. . . . 5 |- ( { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B <-> A. y ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) )
17		df-ral 2489	. . . . 5 |- ( A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) <-> A. y ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B <-> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
19	5, 18	bitrd 188	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ran F = B <-> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
20	19	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
21	1, 20	bitri 184	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   E.wrex 2485   ran crn 4676   Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279

This theorem is referenced by:  dffo4  5728  foco2  5822  fcofo  5853  foov  6093  0ct  7209  ctmlemr  7210  ctm  7211  ctssdclemn0  7212  ctssdccl  7213  enumctlemm  7216  cnref1o  9772  nninfctlemfo  12361  1arith  12690  ctiunctlemfo  12810  znf1o  14413  ioocosf1o  15326  mpodvdsmulf1o  15462