Theorem iunexg 6025

Description: The existence of an indexed union. x is normally a free-variable parameter in B. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iunexg	|- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U_ x e. A B e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem iunexg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 3853	. . 3 |- ( A. x e. A B e. W -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
3		abrexexg 6024	. . . 4 |- ( A e. V -> { y | E. x e. A y = B } e. _V )
4		uniexg 4369	. . . 4 |- ( { y | E. x e. A y = B } e. _V -> U. { y | E. x e. A y = B } e. _V )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( A e. V -> U. { y | E. x e. A y = B } e. _V )
6	5	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U. { y | E. x e. A y = B } e. _V )
7	2, 6	eqeltrd 2217	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U_ x e. A B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   U.cuni 3744   U_ciun 3821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  abrexex2g  6026  opabex3d  6027  opabex3  6028  iunex  6029  xpexgALT  6039  mpoexxg  6116  rdgtfr  6279  rdgruledefgg  6280  rdgivallem  6286  ixpexgg  6624  ixpssmapg  6630  reldvg  12856