Theorem iunexg 6098

Description: The existence of an indexed union. x is normally a free-variable parameter in B. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iunexg	|- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U_ x e. A B e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem iunexg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 3905	. . 3 |- ( A. x e. A B e. W -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
3		abrexexg 6097	. . . 4 |- ( A e. V -> { y | E. x e. A y = B } e. _V )
4		uniexg 4424	. . . 4 |- ( { y | E. x e. A y = B } e. _V -> U. { y | E. x e. A y = B } e. _V )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( A e. V -> U. { y | E. x e. A y = B } e. _V )
6	5	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U. { y | E. x e. A y = B } e. _V )
7	2, 6	eqeltrd 2247	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U_ x e. A B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   U.cuni 3796   U_ciun 3873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  abrexex2g  6099  opabex3d  6100  opabex3  6101  iunex  6102  xpexgALT  6112  mpoexxg  6189  rdgtfr  6353  rdgruledefgg  6354  rdgivallem  6360  ixpexgg  6700  ixpssmapg  6706  reldvg  13442