ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iunexg Unicode version

Theorem iunexg 5983
Description: The existence of an indexed union.  x is normally a free-variable parameter in  B. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iunexg  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  W )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem iunexg
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 3813 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  W  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
21adantl 273 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  W )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
3 abrexexg 5982 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
4 uniexg 4329 . . . 4  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V  ->  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
53, 4syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
65adantr 272 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  W )  ->  U. {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
72, 6eqeltrd 2192 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  W )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   {cab 2101   A.wral 2391   E.wrex 2392   _Vcvv 2658   U.cuni 3704   U_ciun 3781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099
This theorem is referenced by:  abrexex2g  5984  opabex3d  5985  opabex3  5986  iunex  5987  xpexgALT  5997  mpoexxg  6074  rdgtfr  6237  rdgruledefgg  6238  rdgivallem  6244  ixpexgg  6582  ixpssmapg  6588  reldvg  12691
  Copyright terms: Public domain W3C validator