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Theorem dvrecap 15595

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5392	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5599	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 145	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5592	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 4114	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2975	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 112	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 114	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 9066	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2617	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2234	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5840	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5523	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 414	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5260	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3325	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3325	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3249	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3272	. . . . . 6 #
25		cnex 8253	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6916	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 416	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 15572	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3261	. . . . . . 7
31		divclap 8954	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1231	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 287	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5834	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 15567	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2972	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 109	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 11037	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 4114	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2975	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10972	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 9066	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8573	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 15415	. . . . . . . . . 10
53		0cn 8268	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 15493	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 15017	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 426	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2328	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 9098	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 8470	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 9066	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 9079	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2267	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8573	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 15486	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 6060	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 15556	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2311	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 15459	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 15544	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 9066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 9066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 9068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 9102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 9068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 6070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 9079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 9066	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8920	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 9071	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4202	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3325	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 5088	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2285	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 6067	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2270	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2313	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 15414	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 14903	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2234	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3261	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 15564	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 953	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4964	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1274	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3259	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5498	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 147	. . 3 # #
144	143	ffnd 5511	. 2 # #
145	11	sqcld 11037	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10972	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 9066	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8573	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2617	. . 3 #
152		eqid 2234	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5487	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5514	. . . . 5 #
156	155	adantr 276	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5715	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 6059	. . . . . 6
160	159	oveq2d 6068	. . . . 5
161	160	negeqd 8470	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5773	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2270	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5780	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1398

wcel 2205

wral 2522

crab 2526

cvv 2815

wss 3213 class class class wbr 4111

cmpt 4173

cdm 4751

crn 4752

cres 4753

ccom 4755

wfun 5348

wfn 5349

wf 5350

wfo 5352

cfv 5354 (class class class)co 6052

cpm 6885

cc 8127

cc0 8129

cmul 8134

cmin 8446

cneg 8447 # cap 8857

cdiv 8948

c2 9290

cexp 10904

cabs 11686

cmopn 14706

ctop 14879

cnt 14975

ccncf 15452 lim

climc 15536

cdv 15537

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4227 ax-sep 4230 ax-nul 4238 ax-pow 4289 ax-pr 4324 ax-un 4556 ax-setind 4661 ax-iinf 4712 ax-cnex 8220 ax-resscn 8221 ax-1cn 8222 ax-1re 8223 ax-icn 8224 ax-addcl 8225 ax-addrcl 8226 ax-mulcl 8227 ax-mulrcl 8228 ax-addcom 8229 ax-mulcom 8230 ax-addass 8231 ax-mulass 8232 ax-distr 8233 ax-i2m1 8234 ax-0lt1 8235 ax-1rid 8236 ax-0id 8237 ax-rnegex 8238 ax-precex 8239 ax-cnre 8240 ax-pre-ltirr 8241 ax-pre-ltwlin 8242 ax-pre-lttrn 8243 ax-pre-apti 8244 ax-pre-ltadd 8245 ax-pre-mulgt0 8246 ax-pre-mulext 8247 ax-arch 8248 ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3045 df-csb 3141 df-dif 3215 df-un 3217 df-in 3219 df-ss 3226 df-nul 3511 df-if 3623 df-pw 3673 df-sn 3697 df-pr 3698 df-op 3700 df-uni 3917 df-int 3952 df-iun 3995 df-br 4112 df-opab 4174 df-mpt 4175 df-tr 4211 df-id 4416 df-po 4419 df-iso 4420 df-iord 4489 df-on 4491 df-ilim 4492 df-suc 4494 df-iom 4715 df-xp 4757 df-rel 4758 df-cnv 4759 df-co 4760 df-dm 4761 df-rn 4762 df-res 4763 df-ima 4764 df-iota 5314 df-fun 5356 df-fn 5357 df-f 5358 df-f1 5359 df-fo 5360 df-f1o 5361 df-fv 5362 df-isom 5363 df-riota 6005 df-ov 6055 df-oprab 6056 df-mpo 6057 df-1st 6336 df-2nd 6337 df-recs 6538 df-frec 6624 df-map 6886 df-pm 6887 df-sup 7277 df-inf 7278 df-pnf 8312 df-mnf 8313 df-xr 8314 df-ltxr 8315 df-le 8316 df-sub 8448 df-neg 8449 df-reap 8851 df-ap 8858 df-div 8949 df-inn 9240 df-2 9298 df-3 9299 df-4 9300 df-n0 9499 df-z 9580 df-uz 9857 df-q 9955 df-rp 9990 df-xneg 10108 df-xadd 10109 df-seqfrec 10814 df-exp 10905 df-cj 11531 df-re 11532 df-im 11533 df-rsqrt 11687 df-abs 11688 df-rest 13471 df-topgen 13490 df-psmet 14708 df-xmet 14709 df-met 14710 df-bl 14711 df-mopn 14712 df-top 14880 df-topon 14893 df-bases 14925 df-ntr 14978 df-cn 15070 df-cnp 15071 df-cncf 15453 df-limced 15538 df-dvap 15539

This theorem is referenced by: (None)

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