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Theorem dvrecap 15436

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5364	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5566	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 145	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5559	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2962	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 112	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 114	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 8969	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2605	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2231	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5808	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5494	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 414	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5232	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3312	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3312	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3236	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3259	. . . . . 6 #
25		cnex 8155	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6848	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 416	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 15413	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3248	. . . . . . 7
31		divclap 8857	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1230	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 287	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5802	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 15408	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2959	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 109	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 10932	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2962	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10867	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 8969	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8476	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 15256	. . . . . . . . . 10
53		0cn 8170	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 15334	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 14858	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 426	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 10931	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 9001	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 8373	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 8969	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 8982	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8476	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 15327	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 6025	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 15397	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2308	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 15300	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 15385	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 8969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 8969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 8971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 9005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 8971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 8982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 8969	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8823	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 8974	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4179	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3312	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 5061	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2282	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 6032	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2267	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2310	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 15255	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 14744	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2231	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3248	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 15405	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 952	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4937	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1273	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3246	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5470	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 147	. . 3 # #
144	143	ffnd 5483	. 2 # #
145	11	sqcld 10932	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10867	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 8969	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8476	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2605	. . 3 #
152		eqid 2231	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5459	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5486	. . . . 5 #
156	155	adantr 276	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5682	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 6024	. . . . . 6
160	159	oveq2d 6033	. . . . 5
161	160	negeqd 8373	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5740	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2267	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5747	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1397

wcel 2202

wral 2510

crab 2514

cvv 2802

wss 3200 class class class wbr 4088

cmpt 4150

cdm 4725

crn 4726

cres 4727

ccom 4729

wfun 5320

wfn 5321

wf 5322

wfo 5324

cfv 5326 (class class class)co 6017

cpm 6817

cc 8029

cc0 8031

cmul 8036

cmin 8349

cneg 8350 # cap 8760

cdiv 8851

c2 9193

cexp 10799

cabs 11557

cmopn 14554

ctop 14720

cnt 14816

ccncf 15293 lim

climc 15377

cdv 15378

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149 ax-arch 8150 ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-isom 5335 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-recs 6470 df-frec 6556 df-map 6818 df-pm 6819 df-sup 7182 df-inf 7183 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-2 9201 df-3 9202 df-4 9203 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-q 9853 df-rp 9888 df-xneg 10006 df-xadd 10007 df-seqfrec 10709 df-exp 10800 df-cj 11402 df-re 11403 df-im 11404 df-rsqrt 11558 df-abs 11559 df-rest 13323 df-topgen 13342 df-psmet 14556 df-xmet 14557 df-met 14558 df-bl 14559 df-mopn 14560 df-top 14721 df-topon 14734 df-bases 14766 df-ntr 14819 df-cn 14911 df-cnp 14912 df-cncf 15294 df-limced 15379 df-dvap 15380

This theorem is referenced by: (None)

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