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Theorem dvrecap 15704

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5395	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5602	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 145	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5595	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2976	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 112	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 114	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 9081	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2617	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2234	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5843	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5526	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 414	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5263	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3327	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3327	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3251	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3274	. . . . . 6 #
25		cnex 8267	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6927	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 416	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 15681	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3263	. . . . . . 7
31		divclap 8969	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1231	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 287	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5837	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 15676	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2973	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 109	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 11058	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2976	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10992	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 9081	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8587	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 15524	. . . . . . . . . 10
53		0cn 8282	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 15602	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 15126	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 426	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2328	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 11057	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 9113	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 8484	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 9081	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 9094	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2267	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8587	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 15595	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 6066	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 15665	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2311	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 15568	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 15653	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 9081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 9081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 9083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 9117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 9083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 9094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 9081	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8935	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 9086	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4205	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3327	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 5091	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2285	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 6073	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2270	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2313	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 15523	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 15012	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2234	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3263	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 15673	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 953	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4967	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1274	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3261	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5501	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 147	. . 3 # #
144	143	ffnd 5514	. 2 # #
145	11	sqcld 11058	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10992	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 9081	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8587	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2617	. . 3 #
152		eqid 2234	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5490	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5517	. . . . 5 #
156	155	adantr 276	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5718	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 6065	. . . . . 6
160	159	oveq2d 6074	. . . . 5
161	160	negeqd 8484	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5776	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2270	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5783	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1398

wcel 2205

wral 2522

crab 2526

cvv 2815

wss 3214 class class class wbr 4114

cmpt 4176

cdm 4754

crn 4755

cres 4756

ccom 4758

wfun 5351

wfn 5352

wf 5353

wfo 5355

cfv 5357 (class class class)co 6058

cpm 6896

cc 8141

cc0 8143

cmul 8148

cmin 8460

cneg 8461 # cap 8872

cdiv 8963

c2 9305

cexp 10924

cabs 11707

cmopn 14815

ctop 14988

cnt 15084

ccncf 15561 lim

climc 15645

cdv 15646

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261 ax-arch 8262 ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-isom 5366 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-frec 6635 df-map 6897 df-pm 6898 df-sup 7288 df-inf 7289 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-div 8964 df-inn 9255 df-2 9313 df-3 9314 df-4 9315 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872 df-q 9970 df-rp 10005 df-xneg 10124 df-xadd 10125 df-seqfrec 10834 df-exp 10925 df-cj 11552 df-re 11553 df-im 11554 df-rsqrt 11708 df-abs 11709 df-rest 13538 df-topgen 13557 df-psmet 14817 df-xmet 14818 df-met 14819 df-bl 14820 df-mopn 14821 df-top 14989 df-topon 15002 df-bases 15034 df-ntr 15087 df-cn 15179 df-cnp 15180 df-cncf 15562 df-limced 15647 df-dvap 15648

This theorem is referenced by: (None)

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