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Theorem dvrecap 15033

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5297	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5490	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 145	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5483	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 112	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 114	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 8834	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2196	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5726	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5422	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 414	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5166	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3269	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3269	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3193	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3216	. . . . . 6 #
25		cnex 8020	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6748	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 416	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 15010	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3205	. . . . . . 7
31		divclap 8722	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1206	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 287	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5720	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 15005	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2917	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 109	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 10780	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2920	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10715	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 8834	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8341	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 14853	. . . . . . . . . 10
53		0cn 8035	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 14931	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 14455	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 426	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 10779	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 8866	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 8238	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 8834	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 8847	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8341	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 14924	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 5933	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 14994	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2273	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 14897	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 14982	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 8834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 8834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 8836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 8870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 8836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 8847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 8834	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8688	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 8839	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4124	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3269	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 4995	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 5940	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2232	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2275	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 14852	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 14341	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2196	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3205	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 15002	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 946	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4873	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1249	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3203	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5398	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 147	. . 3 # #
144	143	ffnd 5411	. 2 # #
145	11	sqcld 10780	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10715	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 8834	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8341	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2570	. . 3 #
152		eqid 2196	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5387	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5414	. . . . 5 #
156	155	adantr 276	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5602	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 5932	. . . . . 6
160	159	oveq2d 5941	. . . . 5
161	160	negeqd 8238	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5658	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2232	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5665	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1364

wcel 2167

wral 2475

crab 2479

cvv 2763

wss 3157 class class class wbr 4034

cmpt 4095

cdm 4664

crn 4665

cres 4666

ccom 4668

wfun 5253

wfn 5254

wf 5255

wfo 5257

cfv 5259 (class class class)co 5925

cpm 6717

cc 7894

cc0 7896

cmul 7901

cmin 8214

cneg 8215 # cap 8625

cdiv 8716

c2 9058

cexp 10647

cabs 11179

cmopn 14173

ctop 14317

cnt 14413

ccncf 14890 lim

climc 14974

cdv 14975

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-isom 5268 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-map 6718 df-pm 6719 df-sup 7059 df-inf 7060 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-q 9711 df-rp 9746 df-xneg 9864 df-xadd 9865 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181 df-rest 12943 df-topgen 12962 df-psmet 14175 df-xmet 14176 df-met 14177 df-bl 14178 df-mopn 14179 df-top 14318 df-topon 14331 df-bases 14363 df-ntr 14416 df-cn 14508 df-cnp 14509 df-cncf 14891 df-limced 14976 df-dvap 14977

This theorem is referenced by: (None)

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