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Theorem dvrecap 13077
Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvrecap  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) )  =  ( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) ) ) )
Distinct variable group:    x, w, A

Proof of Theorem dvrecap
Dummy variables  y  z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5208 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )
2 funforn 5399 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  ( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  <-> 
( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) : dom  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) -onto-> ran  ( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) )
31, 2mpbi 144 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) : dom  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) -onto-> ran  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )
4 fof 5392 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) : dom  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) -onto-> ran  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  -> 
( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) : dom  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) --> ran  ( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) : dom  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) --> ran  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )
6 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  A  e.  CC )
7 breq1 3968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
w #  0  <->  x #  0
) )
87elrab 2868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  <->  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
98biimpi 119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  ->  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
109adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
1110simpld 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  x  e.  CC )
1210simprd 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  x #  0 )
136, 11, 12divclapd 8663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
1413ralrimiva 2530 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } 
( A  /  x
)  e.  CC )
15 eqid 2157 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  =  ( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )
1615rnmptss 5628 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  ( A  /  x )  e.  CC  ->  ran  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) )  C_  CC )
1714, 16syl 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ran  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  C_  CC )
18 fss 5331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) : dom  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) --> ran  ( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  /\  ran  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  C_  CC )  ->  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) : dom  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) --> CC )
195, 17, 18sylancr 411 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) : dom  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) --> CC )
2015dmmpt 5081 . . . . . . 7  |-  dom  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  =  { x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  ( A  /  x )  e.  _V }
21 ssrab2 3213 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |  ( A  /  x )  e.  _V }  C_  { w  e.  CC  |  w #  0 }
22 ssrab2 3213 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  CC  |  w #  0 }  C_  CC
2321, 22sstri 3137 . . . . . . 7  |-  { x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |  ( A  /  x )  e.  _V }  C_  CC
2420, 23eqsstri 3160 . . . . . 6  |-  dom  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  C_  CC
25 cnex 7856 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
2625, 25elpm2 6625 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  e.  ( CC  ^pm  CC ) 
<->  ( ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) : dom  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) --> CC 
/\  dom  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) )  C_  CC ) )
2719, 24, 26sylanblrc 413 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
28 dvfcnpm 13059 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) )  e.  ( CC  ^pm  CC )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) ) : dom  ( CC 
_D  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) ) --> CC )
2927, 28syl 14 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) ) : dom  ( CC  _D  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) ) --> CC )
30 ssidd 3149 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  C_  CC )
31 divclap 8551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x #  0 )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
32313expb 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
338, 32sylan2b 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
3433fmpttd 5622 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) : { w  e.  CC  |  w #  0 } --> CC )
3522a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  { w  e.  CC  |  w #  0 }  C_  CC )
3630, 34, 35dvbss 13054 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) ) 
C_  { w  e.  CC  |  w #  0 } )
37 elrabi 2865 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  ->  y  e.  CC )
3837adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  y  e.  CC )
39 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  A  e.  CC )
4038sqcld 10549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
y ^ 2 )  e.  CC )
41 breq1 3968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
w #  0  <->  y #  0
) )
4241elrab 2868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  <->  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )
4342simprbi 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  ->  y #  0
)
4443adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  y #  0 )
45 sqap0 10485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y ^ 2 ) #  0  <->  y #  0
) )
4638, 45syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
( y ^ 2 ) #  0  <->  y #  0
) )
4744, 46mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
y ^ 2 ) #  0 )
4839, 40, 47divclapd 8663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  CC )
4948negcld 8173 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  CC )
50 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }
)
51 eqid 2157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
5251cntoptop 12933 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  e.  Top
53 0cn 7870 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
54 cnopnap 12994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  CC  ->  { w  e.  CC  |  w #  0 }  e.  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
) )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  CC  |  w #  0 }  e.  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
56 isopn3i 12535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )  e. 
Top  /\  { w  e.  CC  |  w #  0 }  e.  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
) )  ->  (
( int `  ( MetOpen
`  ( abs  o.  -  ) ) ) `
 { w  e.  CC  |  w #  0 } )  =  {
w  e.  CC  |  w #  0 } )
5752, 55, 56mp2an 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( int `  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
) ) `  {
w  e.  CC  |  w #  0 } )  =  { w  e.  CC  |  w #  0 }
5850, 57eleqtrrdi 2251 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  y  e.  ( ( int `  ( MetOpen
`  ( abs  o.  -  ) ) ) `
 { w  e.  CC  |  w #  0 } ) )
5938sqvald 10548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
y ^ 2 )  =  ( y  x.  y ) )
6059oveq2d 5840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( A  /  (
y  x.  y ) ) )
6139, 38, 38, 44, 44divdivap1d 8695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
( A  /  y
)  /  y )  =  ( A  / 
( y  x.  y
) ) )
6260, 61eqtr4d 2193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( ( A  / 
y )  /  y
) )
6362negeqd 8070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  = 
-u ( ( A  /  y )  / 
y ) )
6439, 38, 44divclapd 8663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  ( A  /  y )  e.  CC )
6564, 38, 44divnegapd 8676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  -u (
( A  /  y
)  /  y )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
6663, 65eqtrd 2190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
6764negcld 8173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  -u ( A  /  y )  e.  CC )
68 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  =  ( z  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )
6968cdivcncfap 12987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u ( A  /  y
)  e.  CC  ->  ( z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  e.  ( { w  e.  CC  |  w #  0 } -cn-> CC ) )
7067, 69syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  e.  ( { w  e.  CC  |  w #  0 } -cn-> CC ) )
71 oveq2 5832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( -u ( A  /  y
)  /  z )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
7270, 50, 71cnmptlimc 13043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  ( -u ( A  /  y
)  /  y )  e.  ( ( z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) lim CC  y ) )
7366, 72eqeltrd 2234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) lim CC  y ) )
74 cncff 12964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  e.  ( { w  e.  CC  |  w #  0 } -cn-> CC )  ->  (
z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) : { w  e.  CC  |  w #  0 } --> CC )
7570, 74syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) : { w  e.  CC  |  w #  0 } --> CC )
7622a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  { w  e.  CC  |  w #  0 }  C_  CC )
7775, 76limcdifap 13031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
( z  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) lim CC  y )  =  ( ( ( z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } ) lim CC  y ) )
78 elrabi 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  { k  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  ->  z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )
7978adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )
80 breq1 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  z  ->  (
w #  0  <->  z #  0
) )
8180elrab 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  <->  ( z  e.  CC  /\  z #  0 ) )
8279, 81sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( z  e.  CC  /\  z #  0 ) )
8382simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
z  e.  CC )
8437ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
y  e.  CC )
8583, 84subcld 8186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( z  -  y
)  e.  CC )
8664adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( A  /  y
)  e.  CC )
8781simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  ->  z #  0
)
8879, 87syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
z #  0 )
8986, 83, 88divclapd 8663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( A  / 
y )  /  z
)  e.  CC )
90 mulneg12 8272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  -  y
)  e.  CC  /\  ( ( A  / 
y )  /  z
)  e.  CC )  ->  ( -u (
z  -  y )  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  -u (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
9185, 89, 90syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( -u ( z  -  y )  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  -u ( ( A  /  y )  / 
z ) ) )
9284, 83, 89subdird 8290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( y  -  z )  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) )  =  ( ( y  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  -  ( z  x.  ( ( A  / 
y )  /  z
) ) ) )
9383, 84negsubdi2d 8202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  ->  -u ( z  -  y
)  =  ( y  -  z ) )
9493oveq1d 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( -u ( z  -  y )  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) )  =  ( ( y  -  z )  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) ) )
95 oveq2 5832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( A  /  x )  =  ( A  /  z
) )
96 simpll 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  ->  A  e.  CC )
9796, 83, 88divclapd 8663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( A  /  z
)  e.  CC )
9815, 95, 79, 97fvmptd3 5561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) `  z
)  =  ( A  /  z ) )
9943ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
y #  0 )
10096, 84, 99divcanap2d 8665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( y  x.  ( A  /  y ) )  =  A )
101100oveq1d 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( y  x.  ( A  /  y
) )  /  z
)  =  ( A  /  z ) )
10284, 86, 83, 88divassapd 8699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( y  x.  ( A  /  y
) )  /  z
)  =  ( y  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) ) )
10398, 101, 1023eqtr2d 2196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) `  z
)  =  ( y  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) ) )
104 oveq2 5832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  ( A  /  x )  =  ( A  /  y
) )
10550adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )
10615, 104, 105, 86fvmptd3 5561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) `  y
)  =  ( A  /  y ) )
10786, 83, 88divcanap2d 8665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( z  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) )  =  ( A  /  y ) )
108106, 107eqtr4d 2193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) `  y
)  =  ( z  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) ) )
109103, 108oveq12d 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) )  =  ( ( y  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) )  -  ( z  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) ) )
11092, 94, 1093eqtr4d 2200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( -u ( z  -  y )  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) )  =  ( ( ( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) `  y
) ) )
11186, 83, 88divnegapd 8676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  ->  -u ( ( A  / 
y )  /  z
)  =  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )
112111oveq2d 5840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( z  -  y )  x.  -u (
( A  /  y
)  /  z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) )
11391, 110, 1123eqtr3d 2198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) )
114113oveq1d 5839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( ( ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) )  /  ( z  -  y ) )  =  ( ( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  / 
( z  -  y
) ) )
11586negcld 8173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  ->  -u ( A  /  y
)  e.  CC )
116115, 83, 88divclapd 8663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( -u ( A  / 
y )  /  z
)  e.  CC )
117 breq1 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  z  ->  (
k #  y  <->  z #  y
) )
118117elrab 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  { k  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  <->  ( z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  /\  z #  y ) )
119118simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  { k  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  ->  z #  y )
120119adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
z #  y )
12183, 84, 120subap0d 8519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( z  -  y
) #  0 )
122116, 85, 121divcanap3d 8668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  / 
( z  -  y
) )  =  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )
123114, 122eqtrd 2190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  z  e.  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  -> 
( ( ( ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) )  /  ( z  -  y ) )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )
124123mpteq2dva 4054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
z  e.  { k  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  |->  ( ( ( ( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  /  (
z  -  y ) ) )  =  ( z  e.  { k  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) )
125 ssrab2 3213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { k  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  C_  { w  e.  CC  |  w #  0 }
126 resmpt 4914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { k  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  C_  { w  e.  CC  |  w #  0 }  ->  ( (
z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  =  ( z  e.  {
k  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) )
127125, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  { k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y } )  =  ( z  e.  {
k  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )
128124, 127eqtr4di 2208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
z  e.  { k  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  |->  ( ( ( ( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  /  (
z  -  y ) ) )  =  ( ( z  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )  |`  { k  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }
) )
129128oveq1d 5839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
( z  e.  {
k  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  |->  ( ( ( ( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  /  (
z  -  y ) ) ) lim CC  y
)  =  ( ( ( z  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )  |`  { k  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }
) lim CC  y )
)
13077, 129eqtr4d 2193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
( z  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) lim CC  y )  =  ( ( z  e.  { k  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  |->  ( ( ( ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) )  /  ( z  -  y ) ) ) lim
CC  y ) )
13173, 130eleqtrd 2236 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e. 
{ k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  |->  ( ( ( ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) ) ) lim CC  y ) )
13251cntoptopon 12932 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  e.  (TopOn `  CC )
133132toponrestid 12419 . . . . . . . . 9  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  CC )
134 eqid 2157 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { k  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  |->  ( ( ( ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) )  /  ( z  -  y ) ) )  =  ( z  e. 
{ k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  |->  ( ( ( ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) ) )
135 ssidd 3149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  CC  C_  CC )
13634adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) : { w  e.  CC  |  w #  0 } --> CC )
137133, 51, 134, 135, 136, 76eldvap 13051 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
y ( CC  _D  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) )
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) )  <->  ( y  e.  ( ( int `  ( MetOpen
`  ( abs  o.  -  ) ) ) `
 { w  e.  CC  |  w #  0 } )  /\  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e. 
{ k  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |  k #  y }  |->  ( ( ( ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) ) ) lim CC  y ) ) ) )
13858, 131, 137mpbir2and 929 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  y
( CC  _D  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) )
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) ) )
139 breldmg 4792 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  -u ( A  /  (
y ^ 2 ) )  e.  CC  /\  y ( CC  _D  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) )
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) ) )  -> 
y  e.  dom  ( CC  _D  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) ) )
14038, 49, 138, 139syl3anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  y  e.  dom  ( CC  _D  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) ) )
14136, 140eqelssd 3147 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) )  =  { w  e.  CC  |  w #  0 } )
142141feq2d 5307 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) ) : dom  ( CC 
_D  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) ) --> CC  <->  ( CC  _D  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) ) : { w  e.  CC  |  w #  0 } --> CC ) )
14329, 142mpbid 146 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) ) : { w  e.  CC  |  w #  0 } --> CC )
144143ffnd 5320 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) )  Fn 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }
)
14511sqcld 10549 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
146 sqap0 10485 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 ) #  0  <->  x #  0
) )
14711, 146syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
( x ^ 2 ) #  0  <->  x #  0
) )
14812, 147mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
x ^ 2 ) #  0 )
1496, 145, 148divclapd 8663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  ( A  /  ( x ^
2 ) )  e.  CC )
150149negcld 8173 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) )  e.  CC )
151150ralrimiva 2530 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } -u ( A  /  (
x ^ 2 ) )  e.  CC )
152 eqid 2157 . . . 4  |-  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) ) )
153152fnmpt 5296 . . 3  |-  ( A. x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } -u ( A  /  ( x ^
2 ) )  e.  CC  ->  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |-> 
-u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) )  Fn 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }
)
154151, 153syl 14 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) )  Fn 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }
)
15529ffund 5323 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  Fun  ( CC  _D  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) ) )
156155adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  Fun  ( CC  _D  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) ) )
157 funbrfv 5507 . . . 4  |-  ( Fun  ( CC  _D  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) )  ->  ( y ( CC  _D  ( x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) )
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) )  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) ) `
 y )  = 
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) ) ) )
158156, 138, 157sylc 62 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) ) `
 y )  = 
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) ) )
159 oveq1 5831 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
160159oveq2d 5840 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  /  ( x ^
2 ) )  =  ( A  /  (
y ^ 2 ) ) )
161160negeqd 8070 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) )  = 
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) ) )
162152, 161, 50, 49fvmptd3 5561 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) ) ) `
 y )  = 
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) ) )
163158, 162eqtr4d 2193 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 } )  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  { w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x ) ) ) `
 y )  =  ( ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |-> 
-u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) `  y ) )
164144, 154, 163eqfnfvd 5568 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e. 
{ w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  ( A  /  x
) ) )  =  ( x  e.  {
w  e.  CC  |  w #  0 }  |->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   {crab 2439   _Vcvv 2712    C_ wss 3102   class class class wbr 3965    |-> cmpt 4025   dom cdm 4586   ran crn 4587    |` cres 4588    o. ccom 4590   Fun wfun 5164    Fn wfn 5165   -->wf 5166   -onto->wfo 5168   ` cfv 5170  (class class class)co 5824    ^pm cpm 6594   CCcc 7730   0cc0 7732    x. cmul 7737    - cmin 8046   -ucneg 8047   # cap 8456    / cdiv 8545   2c2 8884   ^cexp 10418   abscabs 10897   MetOpencmopn 12385   Topctop 12395   intcnt 12493   -cn->ccncf 12957   lim CC climc 13023    _D cdv 13024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-map 6595  df-pm 6596  df-sup 6928  df-inf 6929  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-xneg 9679  df-xadd 9680  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-rest 12353  df-topgen 12372  df-psmet 12387  df-xmet 12388  df-met 12389  df-bl 12390  df-mopn 12391  df-top 12396  df-topon 12409  df-bases 12441  df-ntr 12496  df-cn 12588  df-cnp 12589  df-cncf 12958  df-limced 13025  df-dvap 13026
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