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Theorem dvrecap 13077

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5208	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5399	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 144	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5392	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 108	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 3968	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2868	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 119	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 111	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 113	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 8663	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2530	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2157	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5628	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5331	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 411	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5081	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3213	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3213	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3137	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3160	. . . . . 6 #
25		cnex 7856	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6625	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 413	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 13059	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3149	. . . . . . 7
31		divclap 8551	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1186	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 285	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5622	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 13054	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2865	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 275	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 108	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 10549	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 3968	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2868	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 273	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10485	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 166	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 8663	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8173	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 109	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2157	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 12933	. . . . . . . . . 10
53		0cn 7870	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 12994	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 12535	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 423	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2251	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 10548	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 5840	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 8695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2193	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 8070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 8663	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 8676	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2190	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8173	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2157	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 12987	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 5832	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 13043	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2234	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 12964	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 13031	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 8663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 5839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 5832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 8663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 8665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 5839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 8699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 5832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 8665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 5842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 8676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 5840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2198	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 5839	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 8663	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8519	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 8668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2190	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4054	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3213	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 4914	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2208	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 5839	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2193	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2236	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 12932	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 12419	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2157	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3149	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 13051	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 929	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4792	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1220	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3147	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5307	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 146	. . 3 # #
144	143	ffnd 5320	. 2 # #
145	11	sqcld 10549	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10485	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 8663	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8173	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2530	. . 3 #
152		eqid 2157	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5296	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5323	. . . . 5 #
156	155	adantr 274	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5507	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 5831	. . . . . 6
160	159	oveq2d 5840	. . . . 5
161	160	negeqd 8070	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5561	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2193	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5568	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104

wceq 1335

wcel 2128

wral 2435

crab 2439

cvv 2712

wss 3102 class class class wbr 3965

cmpt 4025

cdm 4586

crn 4587

cres 4588

ccom 4590

wfun 5164

wfn 5165

wf 5166

wfo 5168

cfv 5170 (class class class)co 5824

cpm 6594

cc 7730

cc0 7732

cmul 7737

cmin 8046

cneg 8047 # cap 8456

cdiv 8545

c2 8884

cexp 10418

cabs 10897

cmopn 12385

ctop 12395

cnt 12493

ccncf 12957 lim

climc 13023

cdv 13024

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1427 ax-7 1428 ax-gen 1429 ax-ie1 1473 ax-ie2 1474 ax-8 1484 ax-10 1485 ax-11 1486 ax-i12 1487 ax-bndl 1489 ax-4 1490 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-13 2130 ax-14 2131 ax-ext 2139 ax-coll 4079 ax-sep 4082 ax-nul 4090 ax-pow 4135 ax-pr 4169 ax-un 4393 ax-setind 4496 ax-iinf 4547 ax-cnex 7823 ax-resscn 7824 ax-1cn 7825 ax-1re 7826 ax-icn 7827 ax-addcl 7828 ax-addrcl 7829 ax-mulcl 7830 ax-mulrcl 7831 ax-addcom 7832 ax-mulcom 7833 ax-addass 7834 ax-mulass 7835 ax-distr 7836 ax-i2m1 7837 ax-0lt1 7838 ax-1rid 7839 ax-0id 7840 ax-rnegex 7841 ax-precex 7842 ax-cnre 7843 ax-pre-ltirr 7844 ax-pre-ltwlin 7845 ax-pre-lttrn 7846 ax-pre-apti 7847 ax-pre-ltadd 7848 ax-pre-mulgt0 7849 ax-pre-mulext 7850 ax-arch 7851 ax-caucvg 7852

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 817 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1338 df-fal 1341 df-nf 1441 df-sb 1743 df-eu 2009 df-mo 2010 df-clab 2144 df-cleq 2150 df-clel 2153 df-nfc 2288 df-ne 2328 df-nel 2423 df-ral 2440 df-rex 2441 df-reu 2442 df-rmo 2443 df-rab 2444 df-v 2714 df-sbc 2938 df-csb 3032 df-dif 3104 df-un 3106 df-in 3108 df-ss 3115 df-nul 3395 df-if 3506 df-pw 3545 df-sn 3566 df-pr 3567 df-op 3569 df-uni 3773 df-int 3808 df-iun 3851 df-br 3966 df-opab 4026 df-mpt 4027 df-tr 4063 df-id 4253 df-po 4256 df-iso 4257 df-iord 4326 df-on 4328 df-ilim 4329 df-suc 4331 df-iom 4550 df-xp 4592 df-rel 4593 df-cnv 4594 df-co 4595 df-dm 4596 df-rn 4597 df-res 4598 df-ima 4599 df-iota 5135 df-fun 5172 df-fn 5173 df-f 5174 df-f1 5175 df-fo 5176 df-f1o 5177 df-fv 5178 df-isom 5179 df-riota 5780 df-ov 5827 df-oprab 5828 df-mpo 5829 df-1st 6088 df-2nd 6089 df-recs 6252 df-frec 6338 df-map 6595 df-pm 6596 df-sup 6928 df-inf 6929 df-pnf 7914 df-mnf 7915 df-xr 7916 df-ltxr 7917 df-le 7918 df-sub 8048 df-neg 8049 df-reap 8450 df-ap 8457 df-div 8546 df-inn 8834 df-2 8892 df-3 8893 df-4 8894 df-n0 9091 df-z 9168 df-uz 9440 df-q 9529 df-rp 9561 df-xneg 9679 df-xadd 9680 df-seqfrec 10345 df-exp 10419 df-cj 10742 df-re 10743 df-im 10744 df-rsqrt 10898 df-abs 10899 df-rest 12353 df-topgen 12372 df-psmet 12387 df-xmet 12388 df-met 12389 df-bl 12390 df-mopn 12391 df-top 12396 df-topon 12409 df-bases 12441 df-ntr 12496 df-cn 12588 df-cnp 12589 df-cncf 12958 df-limced 13025 df-dvap 13026

This theorem is referenced by: (None)

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