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Theorem dvrecap 14862

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5292	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5483	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 145	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5476	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2916	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 112	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 114	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 8809	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2567	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2193	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5719	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5415	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 414	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5161	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3264	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3264	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3188	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3211	. . . . . 6 #
25		cnex 7996	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6734	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 416	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 14844	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3200	. . . . . . 7
31		divclap 8697	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1206	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 287	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5713	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 14839	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2913	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 109	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 10742	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2916	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10677	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 8809	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8317	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 14701	. . . . . . . . . 10
53		0cn 8011	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 14765	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 14303	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 426	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2287	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 10741	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 8841	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 8214	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 8809	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 8822	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8317	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 14758	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 5926	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 14828	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2270	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 14732	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 14816	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 8809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 8809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 8811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 8845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 8811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 8822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2234	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 8809	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8663	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 8814	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4119	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3264	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 4990	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2244	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 5933	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2229	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2272	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 14700	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 14189	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2193	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3200	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 14836	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 946	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4868	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1249	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3198	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5391	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 147	. . 3 # #
144	143	ffnd 5404	. 2 # #
145	11	sqcld 10742	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10677	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 8809	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8317	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2567	. . 3 #
152		eqid 2193	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5380	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5407	. . . . 5 #
156	155	adantr 276	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5595	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 5925	. . . . . 6
160	159	oveq2d 5934	. . . . 5
161	160	negeqd 8214	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5651	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2229	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5658	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1364

wcel 2164

wral 2472

crab 2476

cvv 2760

wss 3153 class class class wbr 4029

cmpt 4090

cdm 4659

crn 4660

cres 4661

ccom 4663

wfun 5248

wfn 5249

wf 5250

wfo 5252

cfv 5254 (class class class)co 5918

cpm 6703

cc 7870

cc0 7872

cmul 7877

cmin 8190

cneg 8191 # cap 8600

cdiv 8691

c2 9033

cexp 10609

cabs 11141

cmopn 14037

ctop 14165

cnt 14261

ccncf 14725 lim

climc 14808

cdv 14809

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-frec 6444 df-map 6704 df-pm 6705 df-sup 7043 df-inf 7044 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-xneg 9838 df-xadd 9839 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-rest 12852 df-topgen 12871 df-psmet 14039 df-xmet 14040 df-met 14041 df-bl 14042 df-mopn 14043 df-top 14166 df-topon 14179 df-bases 14211 df-ntr 14264 df-cn 14356 df-cnp 14357 df-cncf 14726 df-limced 14810 df-dvap 14811

This theorem is referenced by: (None)

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