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Theorem dvrecap 13844

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5250	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5441	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 145	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5434	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2893	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 112	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 114	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 8736	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2550	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2177	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5673	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5373	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 414	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5120	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3240	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3240	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3164	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3187	. . . . . 6 #
25		cnex 7926	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6674	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 416	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 13826	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3176	. . . . . . 7
31		divclap 8624	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1204	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 287	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5667	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 13821	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2890	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 109	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 10637	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2893	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10572	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 8736	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8245	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 13700	. . . . . . . . . 10
53		0cn 7940	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 13761	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 13302	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 426	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2271	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 10636	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 8768	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 8142	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 8736	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 8749	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8245	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 13754	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 5877	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 13810	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2254	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 13731	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 13798	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 8736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 8736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 8738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 8772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 8738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 8749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 8736	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8591	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 8741	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4090	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3240	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 4951	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2228	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2256	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 13699	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 13186	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2177	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3176	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 13818	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 944	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4829	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1238	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3174	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5349	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 147	. . 3 # #
144	143	ffnd 5362	. 2 # #
145	11	sqcld 10637	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10572	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 8736	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8245	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2550	. . 3 #
152		eqid 2177	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5338	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5365	. . . . 5 #
156	155	adantr 276	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5550	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 5876	. . . . . 6
160	159	oveq2d 5885	. . . . 5
161	160	negeqd 8142	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5605	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2213	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5612	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1353

wcel 2148

wral 2455

crab 2459

cvv 2737

wss 3129 class class class wbr 4000

cmpt 4061

cdm 4623

crn 4624

cres 4625

ccom 4627

wfun 5206

wfn 5207

wf 5208

wfo 5210

cfv 5212 (class class class)co 5869

cpm 6643

cc 7800

cc0 7802

cmul 7807

cmin 8118

cneg 8119 # cap 8528

cdiv 8618

c2 8959

cexp 10505

cabs 10990

cmopn 13152

ctop 13162

cnt 13260

ccncf 13724 lim

climc 13790

cdv 13791

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-isom 5221 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-map 6644 df-pm 6645 df-sup 6977 df-inf 6978 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-xneg 9759 df-xadd 9760 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-rest 12638 df-topgen 12657 df-psmet 13154 df-xmet 13155 df-met 13156 df-bl 13157 df-mopn 13158 df-top 13163 df-topon 13176 df-bases 13208 df-ntr 13263 df-cn 13355 df-cnp 13356 df-cncf 13725 df-limced 13792 df-dvap 13793

This theorem is referenced by: (None)

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