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Theorem dvrecap 14147

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5254	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5445	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 145	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5438	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 4006	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2893	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 112	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 114	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 8746	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2550	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2177	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5677	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5377	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 414	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5124	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3240	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3240	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3164	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3187	. . . . . 6 #
25		cnex 7934	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6679	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 416	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 14129	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3176	. . . . . . 7
31		divclap 8634	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1204	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 287	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5671	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 14124	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2890	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 109	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 10651	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 4006	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2893	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10586	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 8746	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8254	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 14003	. . . . . . . . . 10
53		0cn 7948	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 14064	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 13605	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 426	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2271	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 10650	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 8778	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 8151	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 8746	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 8759	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8254	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 14057	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 5882	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 14113	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2254	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 14034	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 14101	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 8746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 8746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 8748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 8782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 8748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 8759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 8746	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8600	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 8751	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4093	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3240	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 4955	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2228	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 5889	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2256	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 14002	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 13491	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2177	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3176	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 14121	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 944	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4833	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1238	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3174	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5353	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 147	. . 3 # #
144	143	ffnd 5366	. 2 # #
145	11	sqcld 10651	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10586	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 8746	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8254	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2550	. . 3 #
152		eqid 2177	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5342	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5369	. . . . 5 #
156	155	adantr 276	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5554	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 5881	. . . . . 6
160	159	oveq2d 5890	. . . . 5
161	160	negeqd 8151	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5609	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2213	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5616	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1353

wcel 2148

wral 2455

crab 2459

cvv 2737

wss 3129 class class class wbr 4003

cmpt 4064

cdm 4626

crn 4627

cres 4628

ccom 4630

wfun 5210

wfn 5211

wf 5212

wfo 5214

cfv 5216 (class class class)co 5874

cpm 6648

cc 7808

cc0 7810

cmul 7815

cmin 8127

cneg 8128 # cap 8537

cdiv 8628

c2 8969

cexp 10518

cabs 11005

cmopn 13415

ctop 13467

cnt 13563

ccncf 14027 lim

climc 14093

cdv 14094

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929 ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-isom 5225 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-frec 6391 df-map 6649 df-pm 6650 df-sup 6982 df-inf 6983 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-xr 7995 df-ltxr 7996 df-le 7997 df-sub 8129 df-neg 8130 df-reap 8531 df-ap 8538 df-div 8629 df-inn 8919 df-2 8977 df-3 8978 df-4 8979 df-n0 9176 df-z 9253 df-uz 9528 df-q 9619 df-rp 9653 df-xneg 9771 df-xadd 9772 df-seqfrec 10445 df-exp 10519 df-cj 10850 df-re 10851 df-im 10852 df-rsqrt 11006 df-abs 11007 df-rest 12689 df-topgen 12708 df-psmet 13417 df-xmet 13418 df-met 13419 df-bl 13420 df-mopn 13421 df-top 13468 df-topon 13481 df-bases 13513 df-ntr 13566 df-cn 13658 df-cnp 13659 df-cncf 14028 df-limced 14095 df-dvap 14096

This theorem is referenced by: (None)

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