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Theorem dvrecap 13471

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5236	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5427	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 144	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5420	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 108	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2886	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 119	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 111	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 113	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 8707	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2543	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2170	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5657	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5359	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 412	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5106	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3232	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3232	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3156	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3179	. . . . . 6 #
25		cnex 7898	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6658	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 414	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 13453	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3168	. . . . . . 7
31		divclap 8595	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1199	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 285	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5651	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 13448	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2883	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 275	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 108	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 10607	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2886	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 273	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10542	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 166	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 8707	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8217	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 109	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2170	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 13327	. . . . . . . . . 10
53		0cn 7912	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 13388	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 12929	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 424	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2264	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 10606	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 8739	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 8114	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 8707	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 8720	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2203	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8217	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 13381	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 5861	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 13437	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2247	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 13358	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 13425	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 8707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 8707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 8709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 8743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 8709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 8720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2211	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 8707	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8563	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 8712	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4079	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3232	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 4939	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2221	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 5868	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2206	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2249	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 13326	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 12813	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2170	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3168	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 13445	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 939	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4817	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1233	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3166	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5335	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 146	. . 3 # #
144	143	ffnd 5348	. 2 # #
145	11	sqcld 10607	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10542	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 8707	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8217	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2543	. . 3 #
152		eqid 2170	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5324	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5351	. . . . 5 #
156	155	adantr 274	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5535	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 5860	. . . . . 6
160	159	oveq2d 5869	. . . . 5
161	160	negeqd 8114	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5589	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2206	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5596	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104

wceq 1348

wcel 2141

wral 2448

crab 2452

cvv 2730

wss 3121 class class class wbr 3989

cmpt 4050

cdm 4611

crn 4612

cres 4613

ccom 4615

wfun 5192

wfn 5193

wf 5194

wfo 5196

cfv 5198 (class class class)co 5853

cpm 6627

cc 7772

cc0 7774

cmul 7779

cmin 8090

cneg 8091 # cap 8500

cdiv 8589

c2 8929

cexp 10475

cabs 10961

cmopn 12779

ctop 12789

cnt 12887

ccncf 13351 lim

climc 13417

cdv 13418

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893 ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 826 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-isom 5207 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-frec 6370 df-map 6628 df-pm 6629 df-sup 6961 df-inf 6962 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-q 9579 df-rp 9611 df-xneg 9729 df-xadd 9730 df-seqfrec 10402 df-exp 10476 df-cj 10806 df-re 10807 df-im 10808 df-rsqrt 10962 df-abs 10963 df-rest 12581 df-topgen 12600 df-psmet 12781 df-xmet 12782 df-met 12783 df-bl 12784 df-mopn 12785 df-top 12790 df-topon 12803 df-bases 12835 df-ntr 12890 df-cn 12982 df-cnp 12983 df-cncf 13352 df-limced 13419 df-dvap 13420

This theorem is referenced by: (None)

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