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Theorem dvrecap 15427

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5362	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5563	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 145	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5556	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2960	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 112	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 114	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 8960	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2229	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5804	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5491	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 414	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5230	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3310	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3310	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3234	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3257	. . . . . 6 #
25		cnex 8146	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6844	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 416	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 15404	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3246	. . . . . . 7
31		divclap 8848	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1228	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 287	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5798	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 15399	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2957	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 109	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 10923	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2960	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10858	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 8960	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8467	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 15247	. . . . . . . . . 10
53		0cn 8161	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 15325	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 14849	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 426	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 10922	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 8992	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 8364	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 8960	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 8973	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8467	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 15318	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 6021	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 15388	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2306	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 15291	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 15376	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 8960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 8960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 8962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 8996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 8962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 8973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 8960	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8814	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 8965	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4177	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3310	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 5059	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2280	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2308	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 15246	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 14735	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2229	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3246	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 15396	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 950	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4935	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1271	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3244	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5467	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 147	. . 3 # #
144	143	ffnd 5480	. 2 # #
145	11	sqcld 10923	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10858	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 8960	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8467	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2603	. . 3 #
152		eqid 2229	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5456	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5483	. . . . 5 #
156	155	adantr 276	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5678	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 6020	. . . . . 6
160	159	oveq2d 6029	. . . . 5
161	160	negeqd 8364	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5736	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2265	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5743	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1395

wcel 2200

wral 2508

crab 2512

cvv 2800

wss 3198 class class class wbr 4086

cmpt 4148

cdm 4723

crn 4724

cres 4725

ccom 4727

wfun 5318

wfn 5319

wf 5320

wfo 5322

cfv 5324 (class class class)co 6013

cpm 6813

cc 8020

cc0 8022

cmul 8027

cmin 8340

cneg 8341 # cap 8751

cdiv 8842

c2 9184

cexp 10790

cabs 11548

cmopn 14545

ctop 14711

cnt 14807

ccncf 15284 lim

climc 15368

cdv 15369

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140 ax-arch 8141 ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-isom 5333 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-frec 6552 df-map 6814 df-pm 6815 df-sup 7174 df-inf 7175 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-2 9192 df-3 9193 df-4 9194 df-n0 9393 df-z 9470 df-uz 9746 df-q 9844 df-rp 9879 df-xneg 9997 df-xadd 9998 df-seqfrec 10700 df-exp 10791 df-cj 11393 df-re 11394 df-im 11395 df-rsqrt 11549 df-abs 11550 df-rest 13314 df-topgen 13333 df-psmet 14547 df-xmet 14548 df-met 14549 df-bl 14550 df-mopn 14551 df-top 14712 df-topon 14725 df-bases 14757 df-ntr 14810 df-cn 14902 df-cnp 14903 df-cncf 15285 df-limced 15370 df-dvap 15371

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