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Theorem dvrecap 13317

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5226	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5417	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 144	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5410	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 108	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2882	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 119	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 111	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 113	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 8686	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2539	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2165	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5646	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5349	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 411	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5099	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3227	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3227	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3151	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3174	. . . . . 6 #
25		cnex 7877	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6646	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 413	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 13299	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3163	. . . . . . 7
31		divclap 8574	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1194	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 285	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5640	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 13294	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2879	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 275	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 108	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 10586	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2882	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 273	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10521	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 166	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 8686	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8196	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 109	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2165	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 13173	. . . . . . . . . 10
53		0cn 7891	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 13234	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 12775	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 423	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 10585	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 8718	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 8093	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 8686	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 8699	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2198	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8196	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 13227	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 5850	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 13283	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2243	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 13204	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 13271	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 8686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 8686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 8688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 8722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 8688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 8699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2206	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 8686	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8542	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 8691	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4072	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3227	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 4932	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2217	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 5857	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2201	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2245	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 13172	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 12659	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2165	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3163	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 13291	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 934	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4810	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1228	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3161	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5325	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 146	. . 3 # #
144	143	ffnd 5338	. 2 # #
145	11	sqcld 10586	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10521	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 8686	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8196	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2539	. . 3 #
152		eqid 2165	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5314	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5341	. . . . 5 #
156	155	adantr 274	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5525	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 5849	. . . . . 6
160	159	oveq2d 5858	. . . . 5
161	160	negeqd 8093	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5579	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2201	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5586	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104

wceq 1343

wcel 2136

wral 2444

crab 2448

cvv 2726

wss 3116 class class class wbr 3982

cmpt 4043

cdm 4604

crn 4605

cres 4606

ccom 4608

wfun 5182

wfn 5183

wf 5184

wfo 5186

cfv 5188 (class class class)co 5842

cpm 6615

cc 7751

cc0 7753

cmul 7758

cmin 8069

cneg 8070 # cap 8479

cdiv 8568

c2 8908

cexp 10454

cabs 10939

cmopn 12625

ctop 12635

cnt 12733

ccncf 13197 lim

climc 13263

cdv 13264

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871 ax-arch 7872 ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-ilim 4347 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-isom 5197 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-frec 6359 df-map 6616 df-pm 6617 df-sup 6949 df-inf 6950 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-2 8916 df-3 8917 df-4 8918 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-q 9558 df-rp 9590 df-xneg 9708 df-xadd 9709 df-seqfrec 10381 df-exp 10455 df-cj 10784 df-re 10785 df-im 10786 df-rsqrt 10940 df-abs 10941 df-rest 12558 df-topgen 12577 df-psmet 12627 df-xmet 12628 df-met 12629 df-bl 12630 df-mopn 12631 df-top 12636 df-topon 12649 df-bases 12681 df-ntr 12736 df-cn 12828 df-cnp 12829 df-cncf 13198 df-limced 13265 df-dvap 13266

This theorem is referenced by: (None)

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