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Theorem dvrecap 14892

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5293	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5484	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 145	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5477	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 4033	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2917	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 112	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 114	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 8811	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2567	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2193	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5720	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5416	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 414	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5162	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3265	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3265	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3189	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3212	. . . . . 6 #
25		cnex 7998	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6736	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 416	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 14869	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3201	. . . . . . 7
31		divclap 8699	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1206	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 287	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5714	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 14864	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2914	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 109	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 10745	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 4033	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2917	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10680	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 8811	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8319	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 14712	. . . . . . . . . 10
53		0cn 8013	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 14790	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 14314	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 426	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2287	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 10744	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 8843	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 8216	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 8811	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 8824	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8319	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 14783	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 5927	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 14853	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2270	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 14756	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 14841	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 8811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 5927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 8811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 8813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 8847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 5927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 8813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 8824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2234	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 8811	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 8816	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4120	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3265	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 4991	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2244	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 5934	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2229	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2272	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 14711	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 14200	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2193	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3201	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 14861	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 946	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4869	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1249	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3199	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5392	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 147	. . 3 # #
144	143	ffnd 5405	. 2 # #
145	11	sqcld 10745	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10680	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 8811	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8319	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2567	. . 3 #
152		eqid 2193	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5381	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5408	. . . . 5 #
156	155	adantr 276	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5596	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 5926	. . . . . 6
160	159	oveq2d 5935	. . . . 5
161	160	negeqd 8216	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5652	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2229	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5659	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1364

wcel 2164

wral 2472

crab 2476

cvv 2760

wss 3154 class class class wbr 4030

cmpt 4091

cdm 4660

crn 4661

cres 4662

ccom 4664

wfun 5249

wfn 5250

wf 5251

wfo 5253

cfv 5255 (class class class)co 5919

cpm 6705

cc 7872

cc0 7874

cmul 7879

cmin 8192

cneg 8193 # cap 8602

cdiv 8693

c2 9035

cexp 10612

cabs 11144

cmopn 14040

ctop 14176

cnt 14272

ccncf 14749 lim

climc 14833

cdv 14834

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992 ax-arch 7993 ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-isom 5264 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-frec 6446 df-map 6706 df-pm 6707 df-sup 7045 df-inf 7046 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-2 9043 df-3 9044 df-4 9045 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-q 9688 df-rp 9723 df-xneg 9841 df-xadd 9842 df-seqfrec 10522 df-exp 10613 df-cj 10989 df-re 10990 df-im 10991 df-rsqrt 11145 df-abs 11146 df-rest 12855 df-topgen 12874 df-psmet 14042 df-xmet 14043 df-met 14044 df-bl 14045 df-mopn 14046 df-top 14177 df-topon 14190 df-bases 14222 df-ntr 14275 df-cn 14367 df-cnp 14368 df-cncf 14750 df-limced 14835 df-dvap 14836

This theorem is referenced by: (None)

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