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Theorem dvrecap 12885

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5169	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5360	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 144	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5353	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 108	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 3940	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2844	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 119	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 111	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 113	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 8574	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2508	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2140	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5589	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5292	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 411	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5042	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3187	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3187	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3111	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3134	. . . . . 6 #
25		cnex 7768	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6582	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 413	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 12867	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3123	. . . . . . 7
31		divclap 8462	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1183	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 285	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5583	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 12862	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2841	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 275	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 108	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 10453	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 3940	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2844	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 273	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10390	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 166	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 8574	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8084	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 109	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2140	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 12741	. . . . . . . . . 10
53		0cn 7782	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 12802	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 12343	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 423	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2234	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 10452	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 8606	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2176	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 7981	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 8574	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 8587	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2173	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8084	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2140	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 12795	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 5790	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 12851	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2217	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 12772	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 12839	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 8574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 8574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 8576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 8610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 8576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 5800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 8587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2181	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 8574	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8430	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 8579	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4026	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3187	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 4875	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2191	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 5797	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2176	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2219	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 12740	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 12227	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2140	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3123	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 12859	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 929	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4753	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1217	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3121	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5268	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 146	. . 3 # #
144	143	ffnd 5281	. 2 # #
145	11	sqcld 10453	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10390	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 8574	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8084	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2508	. . 3 #
152		eqid 2140	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5257	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5284	. . . . 5 #
156	155	adantr 274	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5468	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 5789	. . . . . 6
160	159	oveq2d 5798	. . . . 5
161	160	negeqd 7981	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5522	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2176	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5529	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104

wceq 1332

wcel 1481

wral 2417

crab 2421

cvv 2689

wss 3076 class class class wbr 3937

cmpt 3997

cdm 4547

crn 4548

cres 4549

ccom 4551

wfun 5125

wfn 5126

wf 5127

wfo 5129

cfv 5131 (class class class)co 5782

cpm 6551

cc 7642

cc0 7644

cmul 7649

cmin 7957

cneg 7958 # cap 8367

cdiv 8456

c2 8795

cexp 10323

cabs 10801

cmopn 12193

ctop 12203

cnt 12301

ccncf 12765 lim

climc 12831

cdv 12832

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 817 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-isom 5140 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-map 6552 df-pm 6553 df-sup 6879 df-inf 6880 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-xneg 9589 df-xadd 9590 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-rest 12161 df-topgen 12180 df-psmet 12195 df-xmet 12196 df-met 12197 df-bl 12198 df-mopn 12199 df-top 12204 df-topon 12217 df-bases 12249 df-ntr 12304 df-cn 12396 df-cnp 12397 df-cncf 12766 df-limced 12833 df-dvap 12834

This theorem is referenced by: (None)

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