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Theorem dvrecap 14949

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5296	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5487	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 145	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5480	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 112	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 114	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 8817	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2196	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5723	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5419	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 414	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5165	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3268	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3268	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3192	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3215	. . . . . 6 #
25		cnex 8003	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6739	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 416	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 14926	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3204	. . . . . . 7
31		divclap 8705	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1206	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 287	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5717	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 14921	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2917	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 109	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 10763	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2920	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10698	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 8817	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8324	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 14769	. . . . . . . . . 10
53		0cn 8018	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 14847	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 14371	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 426	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 10762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 8849	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 8221	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 8817	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 8830	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8324	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 14840	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 5930	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 14910	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2273	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 14813	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 14898	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 8817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 8817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 8819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 8853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 8819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 8830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 8817	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8671	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 8822	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4123	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3268	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 4994	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 5937	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2232	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2275	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 14768	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 14257	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2196	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3204	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 14918	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 946	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4872	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1249	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3202	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5395	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 147	. . 3 # #
144	143	ffnd 5408	. 2 # #
145	11	sqcld 10763	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10698	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 8817	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8324	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2570	. . 3 #
152		eqid 2196	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5384	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5411	. . . . 5 #
156	155	adantr 276	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5599	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 5929	. . . . . 6
160	159	oveq2d 5938	. . . . 5
161	160	negeqd 8221	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5655	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2232	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5662	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1364

wcel 2167

wral 2475

crab 2479

cvv 2763

wss 3157 class class class wbr 4033

cmpt 4094

cdm 4663

crn 4664

cres 4665

ccom 4667

wfun 5252

wfn 5253

wf 5254

wfo 5256

cfv 5258 (class class class)co 5922

cpm 6708

cc 7877

cc0 7879

cmul 7884

cmin 8197

cneg 8198 # cap 8608

cdiv 8699

c2 9041

cexp 10630

cabs 11162

cmopn 14097

ctop 14233

cnt 14329

ccncf 14806 lim

climc 14890

cdv 14891

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-frec 6449 df-map 6709 df-pm 6710 df-sup 7050 df-inf 7051 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-xneg 9847 df-xadd 9848 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-rest 12912 df-topgen 12931 df-psmet 14099 df-xmet 14100 df-met 14101 df-bl 14102 df-mopn 14103 df-top 14234 df-topon 14247 df-bases 14279 df-ntr 14332 df-cn 14424 df-cnp 14425 df-cncf 14807 df-limced 14892 df-dvap 14893

This theorem is referenced by: (None)

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