Theorem dmmptg 5226

Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmmptg	|- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem dmmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
2	1	dmmpt 5224	. 2 |- dom ( x e. A |-> B ) = { x e. A | B e. _V }
3		elex 2811	. . . 4 |- ( B e. V -> B e. _V )
4	3	ralimi 2593	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
5		rabid2 2708	. . 3 |- ( A = { x e. A | B e. _V } <-> A. x e. A B e. _V )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A = { x e. A | B e. _V } )
7	2, 6	eqtr4id 2281	1 |- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   |-> cmpt 4145   dom cdm 4719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732

This theorem is referenced by:  resfunexg  5860  rdgtfr  6520  rdgruledefgg  6521  swrd0g  11192  negfi  11739  limccnp2lem  15350  dvmptclx  15392  dvmptaddx  15393  dvmptmulx  15394