Theorem dmmptg 5180

Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmmptg	|- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem dmmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
2	1	dmmpt 5178	. 2 |- dom ( x e. A |-> B ) = { x e. A | B e. _V }
3		elex 2783	. . . 4 |- ( B e. V -> B e. _V )
4	3	ralimi 2569	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
5		rabid2 2683	. . 3 |- ( A = { x e. A | B e. _V } <-> A. x e. A B e. _V )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A = { x e. A | B e. _V } )
7	2, 6	eqtr4id 2257	1 |- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   _Vcvv 2772   |-> cmpt 4105   dom cdm 4675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688

This theorem is referenced by:  resfunexg  5805  rdgtfr  6460  rdgruledefgg  6461  swrd0g  11113  negfi  11539  limccnp2lem  15148  dvmptclx  15190  dvmptaddx  15191  dvmptmulx  15192