Theorem dmmptg 5199

Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmmptg	|- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem dmmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
2	1	dmmpt 5197	. 2 |- dom ( x e. A |-> B ) = { x e. A | B e. _V }
3		elex 2788	. . . 4 |- ( B e. V -> B e. _V )
4	3	ralimi 2571	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
5		rabid2 2685	. . 3 |- ( A = { x e. A | B e. _V } <-> A. x e. A B e. _V )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A = { x e. A | B e. _V } )
7	2, 6	eqtr4id 2259	1 |- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   {crab 2490   _Vcvv 2776   |-> cmpt 4121   dom cdm 4693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706

This theorem is referenced by:  resfunexg  5828  rdgtfr  6483  rdgruledefgg  6484  swrd0g  11151  negfi  11654  limccnp2lem  15263  dvmptclx  15305  dvmptaddx  15306  dvmptmulx  15307