Theorem dmmptg 5101

Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmmptg	|- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem dmmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2165	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
2	1	dmmpt 5099	. 2 |- dom ( x e. A |-> B ) = { x e. A | B e. _V }
3		elex 2737	. . . 4 |- ( B e. V -> B e. _V )
4	3	ralimi 2529	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
5		rabid2 2642	. . 3 |- ( A = { x e. A | B e. _V } <-> A. x e. A B e. _V )
6	4, 5	sylibr 133	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A = { x e. A | B e. _V } )
7	2, 6	eqtr4id 2218	1 |- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   {crab 2448   _Vcvv 2726   |-> cmpt 4043   dom cdm 4604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617

This theorem is referenced by:  resfunexg  5706  rdgtfr  6342  rdgruledefgg  6343  negfi  11169  limccnp2lem  13285  dvmptclx  13320  dvmptaddx  13321  dvmptmulx  13322