Theorem dmmptg 5285

Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmmptg	|- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem dmmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
2	1	dmmpt 5283	. 2 |- dom ( x e. A |-> B ) = { x e. A | B e. _V }
3		elex 2833	. . . 4 |- ( B e. V -> B e. _V )
4	3	ralimi 2613	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
5		rabid2 2729	. . 3 |- ( A = { x e. A | B e. _V } <-> A. x e. A B e. _V )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A = { x e. A | B e. _V } )
7	2, 6	eqtr4id 2290	1 |- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4192   dom cdm 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787

This theorem is used by:  resfunexg  5936  rdgtfr  6645  rdgruledefgg  6646  swrd0g  11432  negfi  11994  limccnp2lem  15777  dvmptclx  15819  dvmptaddx  15820  dvmptmulx  15821