Theorem dmmptg 5234

Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmmptg	|- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem dmmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
2	1	dmmpt 5232	. 2 |- dom ( x e. A |-> B ) = { x e. A | B e. _V }
3		elex 2814	. . . 4 |- ( B e. V -> B e. _V )
4	3	ralimi 2595	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
5		rabid2 2710	. . 3 |- ( A = { x e. A | B e. _V } <-> A. x e. A B e. _V )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A = { x e. A | B e. _V } )
7	2, 6	eqtr4id 2283	1 |- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   _Vcvv 2802   |-> cmpt 4150   dom cdm 4725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738

This theorem is referenced by:  resfunexg  5874  rdgtfr  6539  rdgruledefgg  6540  swrd0g  11240  negfi  11788  limccnp2lem  15399  dvmptclx  15441  dvmptaddx  15442  dvmptmulx  15443