Theorem shftdm 10779

Description: Domain of a relation shifted by A. The set on the right is more commonly notated as ( dom F + A ) (meaning add A to every element of dom F). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftdm	|- ( A e. CC -> dom ( F shift A ) = { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem shftdm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
2	1	shftfval 10778	. . 3 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } )
3	2	dmeqd 4811	. 2 |- ( A e. CC -> dom ( F shift A ) = dom { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } )
4		19.42v 1899	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) <-> ( x e. CC /\ E. y ( x - A ) F y ) )
5		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> x e. CC )
6		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> A e. CC )
7	5, 6	subcld 8223	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( x - A ) e. CC )
8		eldmg 4804	. . . . . . 7 |- ( ( x - A ) e. CC -> ( ( x - A ) e. dom F <-> E. y ( x - A ) F y ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) e. dom F <-> E. y ( x - A ) F y ) )
10	9	pm5.32da 449	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) <-> ( x e. CC /\ E. y ( x - A ) F y ) ) )
11	4, 10	bitr4id 198	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) <-> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) ) )
12	11	abbidv 2288	. . 3 |- ( A e. CC -> { x | E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) } )
13		dmopab 4820	. . 3 |- dom { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { x | E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) }
14		df-rab 2457	. . 3 |- { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } = { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) }
15	12, 13, 14	3eqtr4g 2228	. 2 |- ( A e. CC -> dom { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } )
16	3, 15	eqtrd 2203	1 |- ( A e. CC -> dom ( F shift A ) = { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   {crab 2452   _Vcvv 2730   class class class wbr 3987   {copab 4047   dom cdm 4609  (class class class)co 5851   CCcc 7765   - cmin 8083   shift cshi 10771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-sub 8085  df-shft 10772

This theorem is referenced by:  shftfn  10781