Theorem shftdm 10764

Description: Domain of a relation shifted by A. The set on the right is more commonly notated as ( dom F + A ) (meaning add A to every element of dom F). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftdm	|- ( A e. CC -> dom ( F shift A ) = { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem shftdm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
2	1	shftfval 10763	. . 3 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } )
3	2	dmeqd 4806	. 2 |- ( A e. CC -> dom ( F shift A ) = dom { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } )
4		19.42v 1894	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) <-> ( x e. CC /\ E. y ( x - A ) F y ) )
5		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> x e. CC )
6		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> A e. CC )
7	5, 6	subcld 8209	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( x - A ) e. CC )
8		eldmg 4799	. . . . . . 7 |- ( ( x - A ) e. CC -> ( ( x - A ) e. dom F <-> E. y ( x - A ) F y ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) e. dom F <-> E. y ( x - A ) F y ) )
10	9	pm5.32da 448	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) <-> ( x e. CC /\ E. y ( x - A ) F y ) ) )
11	4, 10	bitr4id 198	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) <-> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) ) )
12	11	abbidv 2284	. . 3 |- ( A e. CC -> { x | E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) } )
13		dmopab 4815	. . 3 |- dom { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { x | E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) }
14		df-rab 2453	. . 3 |- { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } = { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) }
15	12, 13, 14	3eqtr4g 2224	. 2 |- ( A e. CC -> dom { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } )
16	3, 15	eqtrd 2198	1 |- ( A e. CC -> dom ( F shift A ) = { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   {crab 2448   _Vcvv 2726   class class class wbr 3982   {copab 4042   dom cdm 4604  (class class class)co 5842   CCcc 7751   - cmin 8069   shift cshi 10756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-shft 10757

This theorem is referenced by:  shftfn  10766