ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftdm Unicode version

Theorem shftdm 10606
Description: Domain of a relation shifted by  A. The set on the right is more commonly notated as  ( dom  F  +  A ) (meaning add  A to every element of  dom  F). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
shftdm  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( F  shift  A )  =  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e. 
dom  F } )
Distinct variable groups:    x, A    x, F

Proof of Theorem shftdm
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . 4  |-  F  e. 
_V
21shftfval 10605 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( F  shift  A )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A ) F y ) } )
32dmeqd 4741 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( F  shift  A )  =  dom  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A
) F y ) } )
4 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
5 simpl 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
64, 5subcld 8085 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  -  A
)  e.  CC )
7 eldmg 4734 . . . . . . 7  |-  ( ( x  -  A )  e.  CC  ->  (
( x  -  A
)  e.  dom  F  <->  E. y ( x  -  A ) F y ) )
86, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  -  A )  e.  dom  F  <->  E. y ( x  -  A ) F y ) )
98pm5.32da 447 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  dom  F
)  <->  ( x  e.  CC  /\  E. y
( x  -  A
) F y ) ) )
10 19.42v 1878 . . . . 5  |-  ( E. y ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A ) F y )  <->  ( x  e.  CC  /\  E. y
( x  -  A
) F y ) )
119, 10syl6rbbr 198 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( E. y ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A ) F y )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A )  e. 
dom  F ) ) )
1211abbidv 2257 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  { x  |  E. y ( x  e.  CC  /\  (
x  -  A ) F y ) }  =  { x  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  dom  F
) } )
13 dmopab 4750 . . 3  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A ) F y ) }  =  { x  |  E. y ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A ) F y ) }
14 df-rab 2425 . . 3  |-  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e. 
dom  F }  =  { x  |  (
x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  dom  F
) }
1512, 13, 143eqtr4g 2197 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A ) F y ) }  =  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  dom  F } )
163, 15eqtrd 2172 1  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( F  shift  A )  =  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e. 
dom  F } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   {cab 2125   {crab 2420   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   {copab 3988   dom cdm 4539  (class class class)co 5774   CCcc 7630    - cmin 7945    shift cshi 10598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7947  df-shft 10599
This theorem is referenced by:  shftfn  10608
  Copyright terms: Public domain W3C validator