Theorem shftdm 10387

Description: Domain of a relation shifted by A. The set on the right is more commonly notated as ( dom F + A ) (meaning add A to every element of dom F). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftdm	|- ( A e. CC -> dom ( F shift A ) = { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem shftdm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
2	1	shftfval 10386	. . 3 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } )
3	2	dmeqd 4669	. 2 |- ( A e. CC -> dom ( F shift A ) = dom { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } )
4		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> x e. CC )
5		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> A e. CC )
6	4, 5	subcld 7890	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( x - A ) e. CC )
7		eldmg 4662	. . . . . . 7 |- ( ( x - A ) e. CC -> ( ( x - A ) e. dom F <-> E. y ( x - A ) F y ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) e. dom F <-> E. y ( x - A ) F y ) )
9	8	pm5.32da 441	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) <-> ( x e. CC /\ E. y ( x - A ) F y ) ) )
10		19.42v 1841	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) <-> ( x e. CC /\ E. y ( x - A ) F y ) )
11	9, 10	syl6rbbr 198	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) <-> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) ) )
12	11	abbidv 2212	. . 3 |- ( A e. CC -> { x | E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) } )
13		dmopab 4678	. . 3 |- dom { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { x | E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) }
14		df-rab 2379	. . 3 |- { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } = { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) }
15	12, 13, 14	3eqtr4g 2152	. 2 |- ( A e. CC -> dom { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } )
16	3, 15	eqtrd 2127	1 |- ( A e. CC -> dom ( F shift A ) = { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1296   E.wex 1433   e. wcel 1445   {cab 2081   {crab 2374   _Vcvv 2633   class class class wbr 3867   {copab 3920   dom cdm 4467  (class class class)co 5690   CCcc 7445   - cmin 7750   shift cshi 10379

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-sub 7752  df-shft 10380

This theorem is referenced by:  shftfn  10389