Theorem dom1oi 7002

Description: A set with an element dominates one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dom1oi	|- ( ( A e. V /\ B e. A ) -> 1o ~<_ A )

Proof of Theorem dom1oi

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex2 2819	. . 3 |- ( B e. A -> E. j j e. A )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. A ) -> E. j j e. A )
3		dom1o 7001	. . 3 |- ( A e. V -> ( 1o ~<_ A <-> E. j j e. A ) )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. A ) -> ( 1o ~<_ A <-> E. j j e. A ) )
5	2, 4	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ B e. A ) -> 1o ~<_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1540   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   1oc1o 6574   ~<_ cdom 6907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-dom 6910

This theorem is referenced by:  wlk1walkdom  16209