Theorem enm 6876

Description: A set equinumerous to an inhabited set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
enm	|- ( ( A ~~ B /\ E. x x e. A ) -> E. y y e. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem enm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6803	. . . . 5 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )
2		f1of 5501	. . . . . . 7 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A --> B )
3		ffvelcdm 5692	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. B )
4		elex2 2776	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` x ) e. B -> E. y y e. B )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> E. y y e. B )
6	5	ex 115	. . . . . . 7 |- ( f : A --> B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
7	2, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
8	7	exlimiv 1609	. . . . 5 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
9	1, 8	sylbi 121	. . . 4 |- ( A ~~ B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
10	9	com12 30	. . 3 |- ( x e. A -> ( A ~~ B -> E. y y e. B ) )
11	10	exlimiv 1609	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( A ~~ B -> E. y y e. B ) )
12	11	impcom 125	1 |- ( ( A ~~ B /\ E. x x e. A ) -> E. y y e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1503   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   ~~ cen 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-en 6797

This theorem is referenced by:  ssfilem  6933  diffitest  6945