Theorem enm 6798

Description: A set equinumerous to an inhabited set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
enm	|- ( ( A ~~ B /\ E. x x e. A ) -> E. y y e. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem enm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6725	. . . . 5 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )
2		f1of 5442	. . . . . . 7 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A --> B )
3		ffvelrn 5629	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. B )
4		elex2 2746	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` x ) e. B -> E. y y e. B )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> E. y y e. B )
6	5	ex 114	. . . . . . 7 |- ( f : A --> B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
7	2, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
8	7	exlimiv 1591	. . . . 5 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
9	1, 8	sylbi 120	. . . 4 |- ( A ~~ B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
10	9	com12 30	. . 3 |- ( x e. A -> ( A ~~ B -> E. y y e. B ) )
11	10	exlimiv 1591	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( A ~~ B -> E. y y e. B ) )
12	11	impcom 124	1 |- ( ( A ~~ B /\ E. x x e. A ) -> E. y y e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1485   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   ~~ cen 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-en 6719

This theorem is referenced by:  ssfilem  6853  diffitest  6865