Theorem enm 7070

Description: A set equinumerous to an inhabited set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
enm	|- ( ( A ~~ B /\ E. x x e. A ) -> E. y y e. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem enm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6982	. . . . 5 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )
2		f1of 5613	. . . . . . 7 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A --> B )
3		ffvelcdm 5809	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. B )
4		elex2 2829	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` x ) e. B -> E. y y e. B )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> E. y y e. B )
6	5	ex 115	. . . . . . 7 |- ( f : A --> B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
7	2, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
8	7	exlimiv 1647	. . . . 5 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
9	1, 8	sylbi 121	. . . 4 |- ( A ~~ B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
10	9	com12 30	. . 3 |- ( x e. A -> ( A ~~ B -> E. y y e. B ) )
11	10	exlimiv 1647	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( A ~~ B -> E. y y e. B ) )
12	11	impcom 125	1 |- ( ( A ~~ B /\ E. x x e. A ) -> E. y y e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1541   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   -->wf 5347   -1-1-onto->wf1o 5350   ` cfv 5351   ~~ cen 6972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-en 6975

This theorem is referenced by:  ssfilem  7129  ssfilemd  7131  diffitest  7143