Theorem enm 6915

Description: A set equinumerous to an inhabited set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
enm	|- ( ( A ~~ B /\ E. x x e. A ) -> E. y y e. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem enm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6835	. . . . 5 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )
2		f1of 5522	. . . . . . 7 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A --> B )
3		ffvelcdm 5713	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. B )
4		elex2 2788	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` x ) e. B -> E. y y e. B )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> E. y y e. B )
6	5	ex 115	. . . . . . 7 |- ( f : A --> B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
7	2, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
8	7	exlimiv 1621	. . . . 5 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
9	1, 8	sylbi 121	. . . 4 |- ( A ~~ B -> ( x e. A -> E. y y e. B ) )
10	9	com12 30	. . 3 |- ( x e. A -> ( A ~~ B -> E. y y e. B ) )
11	10	exlimiv 1621	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( A ~~ B -> E. y y e. B ) )
12	11	impcom 125	1 |- ( ( A ~~ B /\ E. x x e. A ) -> E. y y e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1515   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   ~~ cen 6825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-en 6828

This theorem is referenced by:  ssfilem  6972  diffitest  6984