Theorem dom1o 16286

Description: Two ways of saying that a set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dom1o	|- ( A e. V -> ( 1o ~<_ A <-> E. j j e. A ) )

Distinct variable group:   A, j

Allowed substitution hint:   V( j)

Proof of Theorem dom1o

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomg 6887	. . 3 |- ( A e. V -> ( 1o ~<_ A <-> E. f f : 1o -1-1-> A ) )
2		f1f 5527	. . . . . 6 |- ( f : 1o -1-1-> A -> f : 1o --> A )
3		0lt1o 6576	. . . . . . 7 |- (/) e. 1o
4		ffvelcdm 5761	. . . . . . 7 |- ( ( f : 1o --> A /\ (/) e. 1o ) -> ( f ` (/) ) e. A )
5	3, 4	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( f : 1o --> A -> ( f ` (/) ) e. A )
6		elex2 2816	. . . . . 6 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> E. j j e. A )
7	2, 5, 6	3syl 17	. . . . 5 |- ( f : 1o -1-1-> A -> E. j j e. A )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. V -> ( f : 1o -1-1-> A -> E. j j e. A ) )
9	8	exlimdv 1865	. . 3 |- ( A e. V -> ( E. f f : 1o -1-1-> A -> E. j j e. A ) )
10	1, 9	sylbid 150	. 2 |- ( A e. V -> ( 1o ~<_ A -> E. j j e. A ) )
11		0ex 4210	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
12		vex 2802	. . . . . . . 8 |- j e. _V
13	11, 12	opex 4314	. . . . . . 7 |- <. (/) , j >. e. _V
14	13	snex 4268	. . . . . 6 |- { <. (/) , j >. } e. _V
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( j e. A -> { <. (/) , j >. } e. _V )
16		f1sng 5611	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. 1o /\ j e. A ) -> { <. (/) , j >. } : { (/) } -1-1-> A )
17	3, 16	mpan 424	. . . . . 6 |- ( j e. A -> { <. (/) , j >. } : { (/) } -1-1-> A )
18		df1o2 6565	. . . . . . 7 |- 1o = { (/) }
19		f1eq2 5523	. . . . . . 7 |- ( 1o = { (/) } -> ( { <. (/) , j >. } : 1o -1-1-> A <-> { <. (/) , j >. } : { (/) } -1-1-> A ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. (/) , j >. } : 1o -1-1-> A <-> { <. (/) , j >. } : { (/) } -1-1-> A )
21	17, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( j e. A -> { <. (/) , j >. } : 1o -1-1-> A )
22		f1eq1 5522	. . . . 5 |- ( f = { <. (/) , j >. } -> ( f : 1o -1-1-> A <-> { <. (/) , j >. } : 1o -1-1-> A ) )
23	15, 21, 22	elabd 2948	. . . 4 |- ( j e. A -> E. f f : 1o -1-1-> A )
24	23	exlimiv 1644	. . 3 |- ( E. j j e. A -> E. f f : 1o -1-1-> A )
25	24, 1	imbitrrid 156	. 2 |- ( A e. V -> ( E. j j e. A -> 1o ~<_ A ) )
26	10, 25	impbid 129	1 |- ( A e. V -> ( 1o ~<_ A <-> E. j j e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   {csn 3666   <.cop 3669   class class class wbr 4082   -->wf 5310   -1-1->wf1 5311   ` cfv 5314   1oc1o 6545   ~<_ cdom 6876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-suc 4459  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-1o 6552  df-dom 6879

This theorem is referenced by: (None)