Theorem dom1o 7002

Description: Two ways of saying that a set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dom1o	|- ( A e. V -> ( 1o ~<_ A <-> E. j j e. A ) )

Distinct variable group:   A, j

Allowed substitution hint:   V( j)

Proof of Theorem dom1o

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomg 6919	. . 3 |- ( A e. V -> ( 1o ~<_ A <-> E. f f : 1o -1-1-> A ) )
2		f1f 5542	. . . . . 6 |- ( f : 1o -1-1-> A -> f : 1o --> A )
3		0lt1o 6608	. . . . . . 7 |- (/) e. 1o
4		ffvelcdm 5780	. . . . . . 7 |- ( ( f : 1o --> A /\ (/) e. 1o ) -> ( f ` (/) ) e. A )
5	3, 4	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( f : 1o --> A -> ( f ` (/) ) e. A )
6		elex2 2819	. . . . . 6 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> E. j j e. A )
7	2, 5, 6	3syl 17	. . . . 5 |- ( f : 1o -1-1-> A -> E. j j e. A )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. V -> ( f : 1o -1-1-> A -> E. j j e. A ) )
9	8	exlimdv 1867	. . 3 |- ( A e. V -> ( E. f f : 1o -1-1-> A -> E. j j e. A ) )
10	1, 9	sylbid 150	. 2 |- ( A e. V -> ( 1o ~<_ A -> E. j j e. A ) )
11		0ex 4216	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
12		vex 2805	. . . . . . . 8 |- j e. _V
13	11, 12	opex 4321	. . . . . . 7 |- <. (/) , j >. e. _V
14	13	snex 4275	. . . . . 6 |- { <. (/) , j >. } e. _V
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( j e. A -> { <. (/) , j >. } e. _V )
16		f1sng 5627	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. 1o /\ j e. A ) -> { <. (/) , j >. } : { (/) } -1-1-> A )
17	3, 16	mpan 424	. . . . . 6 |- ( j e. A -> { <. (/) , j >. } : { (/) } -1-1-> A )
18		df1o2 6596	. . . . . . 7 |- 1o = { (/) }
19		f1eq2 5538	. . . . . . 7 |- ( 1o = { (/) } -> ( { <. (/) , j >. } : 1o -1-1-> A <-> { <. (/) , j >. } : { (/) } -1-1-> A ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. (/) , j >. } : 1o -1-1-> A <-> { <. (/) , j >. } : { (/) } -1-1-> A )
21	17, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( j e. A -> { <. (/) , j >. } : 1o -1-1-> A )
22		f1eq1 5537	. . . . 5 |- ( f = { <. (/) , j >. } -> ( f : 1o -1-1-> A <-> { <. (/) , j >. } : 1o -1-1-> A ) )
23	15, 21, 22	elabd 2951	. . . 4 |- ( j e. A -> E. f f : 1o -1-1-> A )
24	23	exlimiv 1646	. . 3 |- ( E. j j e. A -> E. f f : 1o -1-1-> A )
25	24, 1	imbitrrid 156	. 2 |- ( A e. V -> ( E. j j e. A -> 1o ~<_ A ) )
26	10, 25	impbid 129	1 |- ( A e. V -> ( 1o ~<_ A <-> E. j j e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   {csn 3669   <.cop 3672   class class class wbr 4088   -->wf 5322   -1-1->wf1 5323   ` cfv 5326   1oc1o 6575   ~<_ cdom 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6582  df-dom 6911

This theorem is referenced by:  dom1oi  7003