Theorem wlk1walkdom 16156

Description: A walk is a 1-walk "on the edge level" according to Aksoy et al. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlk1walk.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
wlk1walkdom	|- ( F (Walks ` G ) P -> A. k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) 1o ~<_ ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   P, k

Allowed substitution hint:   I( k)

Proof of Theorem wlk1walkdom

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk1walk.i	. . . . . . 7 |- I = (iEdg ` G )
2		wlkv 16123	. . . . . . . . 9 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) )
3	2	simp1d 1033	. . . . . . . 8 |- ( F (Walks ` G ) P -> G e. _V )
4		iedgex 15860	. . . . . . . 8 |- ( G e. _V -> (iEdg ` G ) e. _V )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( F (Walks ` G ) P -> (iEdg ` G ) e. _V )
6	1, 5	eqeltrid 2316	. . . . . 6 |- ( F (Walks ` G ) P -> I e. _V )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> I e. _V )
8	2	simp2d 1034	. . . . . . 7 |- ( F (Walks ` G ) P -> F e. _V )
9	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> F e. _V )
10		elfzoelz 10372	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) -> k e. ZZ )
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> k e. ZZ )
12		peano2zm 9507	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
14		fvexg 5654	. . . . . 6 |- ( ( F e. _V /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( F ` ( k - 1 ) ) e. _V )
15	9, 13, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( F ` ( k - 1 ) ) e. _V )
16		fvexg 5654	. . . . 5 |- ( ( I e. _V /\ ( F ` ( k - 1 ) ) e. _V ) -> ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) e. _V )
17	7, 15, 16	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) e. _V )
18		inex1g 4223	. . . 4 |- ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) e. _V -> ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) e. _V )
19	17, 18	syl 14	. . 3 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) e. _V )
20		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
21		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
22	20, 21	wlkprop 16124	. . . . . . 7 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> (Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) ) )
23	22	simp3d 1035	. . . . . 6 |- ( F (Walks ` G ) P -> A. i e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) )
24		elfzofz 10388	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) -> k e. ( 1 ... (♯ ` F ) ) )
25		fz1fzo0m1 10418	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... (♯ ` F ) ) -> ( k - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
26		wkslem1 16117	. . . . . . . 8 |- ( i = ( k - 1 ) -> (if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
27	26	rspcv 2904	. . . . . . 7 |- ( ( k - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) -> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
28	24, 25, 27	3syl 17	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) -> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
29	23, 28	mpan9 281	. . . . 5 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) )
30		fzo0ss1 10401	. . . . . . . . 9 |- ( 1..^ (♯ ` F ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) )
31	30	sseli 3221	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) -> k e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
32		wkslem1 16117	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> (if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) <-> if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) )
33	32	rspcv 2904	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) -> if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) )
34	31, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) -> if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) )
35	23, 34	mpan9 281	. . . . . 6 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) )
36		df-ifp 984	. . . . . . 7 |- (if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) <-> ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) )
37		zcn 9474	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
38		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. CC -> ( k - 1 ) = ( k - 1 ) )
39		npcan1 8547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. CC -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
40		wkslem2 16118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k - 1 ) = ( k - 1 ) /\ ( ( k - 1 ) + 1 ) = k ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. CC -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
42	10, 37, 41	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
44		df-ifp 984	. . . . . . . . . 10 |- (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) \/ ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
45		anass 401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) /\ ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) ) <-> ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } /\ ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) ) ) )
46		sneq 3678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) -> { ( P ` ( k - 1 ) ) } = { ( P ` k ) } )
47	46	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } <-> ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } ) )
48	47	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } )
49	2	simp3d 1035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F (Walks ` G ) P -> P e. _V )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> P e. _V )
51		vex 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- k e. _V
52		fvexg 5654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P e. _V /\ k e. _V ) -> ( P ` k ) e. _V )
53	50, 51, 52	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` k ) e. _V )
54		snidg 3696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P ` k ) e. _V -> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } )
56	1	fveq1i 5636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) )
57	56	eleq2i 2296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) <-> ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) )
58		eleq2 2293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) <-> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } ) )
59	57, 58	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) <-> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } ) )
60	55, 59	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) )
61	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } )
62		eleq2 2293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) <-> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } ) )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) <-> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } ) )
64	61, 63	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) )
65	1	fveq1i 5636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( I ` ( F ` k ) ) = ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) )
66	64, 65	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) )
67	66	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
68	60, 67	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
69	48, 68	sylani 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
70	69	ancomsd 269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } /\ ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
71	70	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } /\ ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
72	45, 71	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) /\ ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
73	72	expd 258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
74	11	peano2zd 9595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
75		fvexg 5654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. _V /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. _V )
76	50, 74, 75	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. _V )
77		prssg 3828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P ` k ) e. _V /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. _V ) -> ( ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) <-> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) )
78	53, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) <-> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) )
79	78	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) )
80	79	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) )
81	1	eqcomi 2233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (iEdg ` G ) = I
82	81	fveq1i 5636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = ( I ` ( F ` k ) )
83	82	eleq2i 2296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) <-> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) )
84	83	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) )
85	80, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) )
86	85	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
87	60, 86	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
88	87	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
89	48, 88	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
90	89	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
91	90	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
92	73, 91	jaod 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
93	92	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
94		fvexg 5654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. _V /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( P ` ( k - 1 ) ) e. _V )
95	50, 13, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` ( k - 1 ) ) e. _V )
96		prssg 3828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) e. _V /\ ( P ` k ) e. _V ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) )
97	95, 53, 96	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) )
98	81	fveq1i 5636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) )
99	98	eleq2i 2296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) <-> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) )
100	99	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) )
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) )
102	101, 67	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
103	102	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
104	103	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
105	97, 104	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
106	105	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
107	106	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
108	107	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
109	99, 83	anbi12i 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) <-> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
110	109	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
112	111	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
113	97, 112	biimtrrdi 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
114	113	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
115	114	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
117	80, 116	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
118	117	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
119	118	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
120	108, 119	jaod 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
121	120	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
122	93, 121	jaod 722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) \/ ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
123	44, 122	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
124	43, 123	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
125	124	com3r 79	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
126	36, 125	sylbi 121	. . . . . 6 |- (if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
127	35, 126	mpcom 36	. . . . 5 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
128	29, 127	mpd 13	. . . 4 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
129		elin 3388	. . . 4 |- ( ( P ` k ) e. ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) <-> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
130	128, 129	sylibr 134	. . 3 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` k ) e. ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) )
131		dom1oi 6998	. . 3 |- ( ( ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) e. _V /\ ( P ` k ) e. ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) ) -> 1o ~<_ ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) )
132	19, 130, 131	syl2anc 411	. 2 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> 1o ~<_ ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) )
133	132	ralrimiva 2603	1 |- ( F (Walks ` G ) P -> A. k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) 1o ~<_ ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  if-wif 983   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2800   i^i cin 3197   C_ wss 3198   {csn 3667   {cpr 3668   class class class wbr 4086   dom cdm 4723   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   1oc1o 6570   ~<_ cdom 6903   CCcc 8020   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   - cmin 8340   ZZcz 9469   ...cfz 10233  ..^cfzo 10367  ♯chash 11027  Word cword 11103  Vtxcvtx 15853  iEdgciedg 15854  Walkscwlks 16114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-ifp 984  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-map 6814  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-dec 9602  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-ihash 11028  df-word 11104  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-edgf 15846  df-vtx 15855  df-iedg 15856  df-wlks 16115

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