Theorem wlk1walkdom 16480

Description: A walk is a 1-walk "on the edge level" according to Aksoy et al. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlk1walk.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
wlk1walkdom	|- ( F (Walks ` G ) P -> A. k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) 1o ~<_ ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   P, k

Allowed substitution hint:   I( k)

Proof of Theorem wlk1walkdom

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk1walk.i	. . . . . . 7 |- I = (iEdg ` G )
2		wlkv 16447	. . . . . . . . 9 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) )
3	2	simp1d 1036	. . . . . . . 8 |- ( F (Walks ` G ) P -> G e. _V )
4		iedgex 16140	. . . . . . . 8 |- ( G e. _V -> (iEdg ` G ) e. _V )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( F (Walks ` G ) P -> (iEdg ` G ) e. _V )
6	1, 5	eqeltrid 2321	. . . . . 6 |- ( F (Walks ` G ) P -> I e. _V )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> I e. _V )
8	2	simp2d 1037	. . . . . . 7 |- ( F (Walks ` G ) P -> F e. _V )
9	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> F e. _V )
10		elfzoelz 10503	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) -> k e. ZZ )
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> k e. ZZ )
12		peano2zm 9632	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
14		fvexg 5694	. . . . . 6 |- ( ( F e. _V /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( F ` ( k - 1 ) ) e. _V )
15	9, 13, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( F ` ( k - 1 ) ) e. _V )
16		fvexg 5694	. . . . 5 |- ( ( I e. _V /\ ( F ` ( k - 1 ) ) e. _V ) -> ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) e. _V )
17	7, 15, 16	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) e. _V )
18		inex1g 4251	. . . 4 |- ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) e. _V -> ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) e. _V )
19	17, 18	syl 14	. . 3 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) e. _V )
20		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
21		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
22	20, 21	wlkprop 16448	. . . . . . 7 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> (Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) ) )
23	22	simp3d 1038	. . . . . 6 |- ( F (Walks ` G ) P -> A. i e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) )
24		elfzofz 10519	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) -> k e. ( 1 ... (♯ ` F ) ) )
25		fz1fzo0m1 10550	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... (♯ ` F ) ) -> ( k - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
26		wkslem1 16441	. . . . . . . 8 |- ( i = ( k - 1 ) -> (if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
27	26	rspcv 2919	. . . . . . 7 |- ( ( k - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) -> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
28	24, 25, 27	3syl 17	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) -> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
29	23, 28	mpan9 281	. . . . 5 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) )
30		fzo0ss1 10532	. . . . . . . . 9 |- ( 1..^ (♯ ` F ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) )
31	30	sseli 3238	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) -> k e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
32		wkslem1 16441	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> (if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) <-> if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) )
33	32	rspcv 2919	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) -> if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) )
34	31, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` i ) ) ) -> if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) )
35	23, 34	mpan9 281	. . . . . 6 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) )
36		df-ifp 987	. . . . . . 7 |- (if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) <-> ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) )
37		zcn 9599	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
38		eqidd 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. CC -> ( k - 1 ) = ( k - 1 ) )
39		npcan1 8668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. CC -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
40		wkslem2 16442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k - 1 ) = ( k - 1 ) /\ ( ( k - 1 ) + 1 ) = k ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. CC -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
42	10, 37, 41	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
44		df-ifp 987	. . . . . . . . . 10 |- (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) \/ ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) )
45		anass 401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) /\ ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) ) <-> ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } /\ ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) ) ) )
46		sneq 3705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) -> { ( P ` ( k - 1 ) ) } = { ( P ` k ) } )
47	46	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } <-> ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } ) )
48	47	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } )
49	2	simp3d 1038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F (Walks ` G ) P -> P e. _V )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> P e. _V )
51		vex 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- k e. _V
52		fvexg 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P e. _V /\ k e. _V ) -> ( P ` k ) e. _V )
53	50, 51, 52	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` k ) e. _V )
54		snidg 3723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P ` k ) e. _V -> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } )
56	1	fveq1i 5676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) )
57	56	eleq2i 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) <-> ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) )
58		eleq2 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) <-> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } ) )
59	57, 58	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) <-> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } ) )
60	55, 59	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) )
61	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } )
62		eleq2 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) <-> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } ) )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) <-> ( P ` k ) e. { ( P ` k ) } ) )
64	61, 63	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) )
65	1	fveq1i 5676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( I ` ( F ` k ) ) = ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) )
66	64, 65	eleqtrrdi 2328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) )
67	66	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
68	60, 67	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
69	48, 68	sylani 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
70	69	ancomsd 269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } /\ ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
71	70	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } /\ ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
72	45, 71	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) /\ ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
73	72	expd 258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
74	11	peano2zd 9721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
75		fvexg 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. _V /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. _V )
76	50, 74, 75	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. _V )
77		prssg 3856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P ` k ) e. _V /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. _V ) -> ( ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) <-> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) )
78	53, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) <-> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) )
79	78	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) )
80	79	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) )
81	1	eqcomi 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (iEdg ` G ) = I
82	81	fveq1i 5676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = ( I ` ( F ` k ) )
83	82	eleq2i 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) <-> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) )
84	83	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) )
85	80, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) )
86	85	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
87	60, 86	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
88	87	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` k ) } -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
89	48, 88	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
90	89	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
91	90	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
92	73, 91	jaod 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
93	92	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
94		fvexg 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. _V /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( P ` ( k - 1 ) ) e. _V )
95	50, 13, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` ( k - 1 ) ) e. _V )
96		prssg 3856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) e. _V /\ ( P ` k ) e. _V ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) )
97	95, 53, 96	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <-> { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) )
98	81	fveq1i 5676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) )
99	98	eleq2i 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) <-> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) )
100	99	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) )
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) )
102	101, 67	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
103	102	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
104	103	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
105	97, 104	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
106	105	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
107	106	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
108	107	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
109	99, 83	anbi12i 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) <-> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
110	109	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
112	111	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
113	97, 112	biimtrrdi 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
114	113	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
115	114	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
117	80, 116	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
118	117	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
119	118	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
120	108, 119	jaod 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
121	120	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
122	93, 121	jaod 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } ) \/ ( -. ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) /\ { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
123	44, 122	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` k ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` k ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
124	43, 123	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
125	124	com3r 79	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } ) \/ ( -. ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) /\ { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
126	36, 125	sylbi 121	. . . . . 6 |- (if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) -> ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
127	35, 126	mpcom 36	. . . . 5 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> (if- ( ( P ` ( k - 1 ) ) = ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) , ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) = { ( P ` ( k - 1 ) ) } , { ( P ` ( k - 1 ) ) , ( P ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
128	29, 127	mpd 13	. . . 4 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
129		elin 3406	. . . 4 |- ( ( P ` k ) e. ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) <-> ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) /\ ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
130	128, 129	sylibr 134	. . 3 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` k ) e. ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) )
131		dom1oi 7083	. . 3 |- ( ( ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) e. _V /\ ( P ` k ) e. ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) ) -> 1o ~<_ ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) )
132	19, 130, 131	syl2anc 411	. 2 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) ) -> 1o ~<_ ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) )
133	132	ralrimiva 2617	1 |- ( F (Walks ` G ) P -> A. k e. ( 1..^ (♯ ` F ) ) 1o ~<_ ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  if-wif 986   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   i^i cin 3213   C_ wss 3214   {csn 3694   {cpr 3695   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1oc1o 6653   ~<_ cdom 6987   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   - cmin 8460   ZZcz 9594   ...cfz 10361  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  Walkscwlks 16438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-wlks 16439

This theorem is referenced by: (None)