Theorem dom1oi 7111

Description: A set with an element dominates one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dom1oi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)

Proof of Theorem dom1oi

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex2 2838	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
3		dom1o 7110	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (1o ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴))
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (1o ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴))
5	2, 4	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  1_oc1o 6674   ≼ cdom 7015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-suc 4514  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1o 6681  df-dom 7018

This theorem is referenced by:  wlk1walkdom  16583