Theorem dom1oi 7069

Description: A set with an element dominates one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dom1oi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)

Proof of Theorem dom1oi

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex2 2829	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
3		dom1o 7068	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (1o ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴))
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (1o ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴))
5	2, 4	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  1_oc1o 6639   ≼ cdom 6973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-suc 4491  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-1o 6646  df-dom 6976

This theorem is referenced by:  wlk1walkdom  16341