Theorem domen1 6859

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen1	|- ( A ~~ B -> ( A ~<_ C <-> B ~<_ C ) )

Proof of Theorem domen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 6798	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
2		endomtr 6807	. . 3 |- ( ( B ~~ A /\ A ~<_ C ) -> B ~<_ C )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ A ~<_ C ) -> B ~<_ C )
4		endomtr 6807	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )
5	3, 4	impbida 596	1 |- ( A ~~ B -> ( A ~<_ C <-> B ~<_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   class class class wbr 4017   ~~ cen 6755   ~<_ cdom 6756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-er 6552  df-en 6758  df-dom 6759

This theorem is referenced by:  fihashdom  10800