Theorem domen1 6839

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen1	|- ( A ~~ B -> ( A ~<_ C <-> B ~<_ C ) )

Proof of Theorem domen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 6778	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
2		endomtr 6787	. . 3 |- ( ( B ~~ A /\ A ~<_ C ) -> B ~<_ C )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ A ~<_ C ) -> B ~<_ C )
4		endomtr 6787	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )
5	3, 4	impbida 596	1 |- ( A ~~ B -> ( A ~<_ C <-> B ~<_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   class class class wbr 4002   ~~ cen 6735   ~<_ cdom 6736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-er 6532  df-en 6738  df-dom 6739

This theorem is referenced by:  fihashdom  10776