Theorem fihashdom 10877

Description: Dominance relation for the size function. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashdom	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( (♯ ` A ) <_ (♯ ` B ) <-> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem fihashdom

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6817	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		isfi 6817	. . . . 5 |- ( B e. Fin <-> E. m e. om B ~~ m )
5	4	biimpi 120	. . . 4 |- ( B e. Fin -> E. m e. om B ~~ m )
6	5	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> E. m e. om B ~~ m )
7		simplrr 536	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> A ~~ n )
8		domen1 6900	. . . . 5 |- ( A ~~ n -> ( A ~<_ m <-> n ~<_ m ) )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> ( A ~<_ m <-> n ~<_ m ) )
10		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> B ~~ m )
11		domen2 6901	. . . . 5 |- ( B ~~ m -> ( A ~<_ B <-> A ~<_ m ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> ( A ~<_ B <-> A ~<_ m ) )
13		0zd 9332	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> 0 e. ZZ )
14		eqid 2193	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
15		simplrl 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> n e. om )
16		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> m e. om )
17	13, 14, 15, 16	frec2uzled 10503	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> ( n C_ m <-> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) <_ (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` m ) ) )
18		nndomo 6922	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( n ~<_ m <-> n C_ m ) )
19	15, 16, 18	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> ( n ~<_ m <-> n C_ m ) )
20	7	ensymd 6839	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> n ~~ A )
21		hashennn 10854	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ n ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) )
22	15, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) )
23	10	ensymd 6839	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> m ~~ B )
24		hashennn 10854	. . . . . . 7 |- ( ( m e. om /\ m ~~ B ) -> (♯ ` B ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` m ) )
25	16, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> (♯ ` B ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` m ) )
26	22, 25	breq12d 4043	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> ( (♯ ` A ) <_ (♯ ` B ) <-> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) <_ (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` m ) ) )
27	17, 19, 26	3bitr4rd 221	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> ( (♯ ` A ) <_ (♯ ` B ) <-> n ~<_ m ) )
28	9, 12, 27	3bitr4rd 221	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ B ~~ m ) ) -> ( (♯ ` A ) <_ (♯ ` B ) <-> A ~<_ B ) )
29	6, 28	rexlimddv 2616	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( (♯ ` A ) <_ (♯ ` B ) <-> A ~<_ B ) )
30	3, 29	rexlimddv 2616	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( (♯ ` A ) <_ (♯ ` B ) <-> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   C_ wss 3154   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   omcom 4623   ` cfv 5255  (class class class)co 5919  freccfrec 6445   ~~ cen 6794   ~<_ cdom 6795   Fincfn 6796   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   <_ cle 8057   ZZcz 9320  ♯chash 10849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-recs 6360  df-frec 6446  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-ihash 10850

This theorem is referenced by:  fihashss  10890  phicl2  12355  phibnd  12358  4sqlem11  12542  znidom  14156  znidomb  14157