Theorem domen1 6842

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐶 ↔ 𝐵 ≼ 𝐶))

Proof of Theorem domen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 6781	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		endomtr 6790	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
4		endomtr 6790	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
5	3, 4	impbida 596	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐶 ↔ 𝐵 ≼ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   class class class wbr 4004   ≈ cen 6738   ≼ cdom 6739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742

This theorem is referenced by:  fihashdom  10783