Theorem domen2 6800

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen2	|- ( A ~~ B -> ( C ~<_ A <-> C ~<_ B ) )

Proof of Theorem domen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domentr 6748	. . 3 |- ( ( C ~<_ A /\ A ~~ B ) -> C ~<_ B )
2	1	ancoms 266	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~<_ A ) -> C ~<_ B )
3		ensym 6738	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
4		domentr 6748	. . . 4 |- ( ( C ~<_ B /\ B ~~ A ) -> C ~<_ A )
5	4	ancoms 266	. . 3 |- ( ( B ~~ A /\ C ~<_ B ) -> C ~<_ A )
6	3, 5	sylan 281	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~<_ B ) -> C ~<_ A )
7	2, 6	impbida 586	1 |- ( A ~~ B -> ( C ~<_ A <-> C ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   class class class wbr 3976   ~~ cen 6695   ~<_ cdom 6696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-er 6492  df-en 6698  df-dom 6699

This theorem is referenced by:  fihashdom  10705