Theorem domen2 6942

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen2	|- ( A ~~ B -> ( C ~<_ A <-> C ~<_ B ) )

Proof of Theorem domen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domentr 6885	. . 3 |- ( ( C ~<_ A /\ A ~~ B ) -> C ~<_ B )
2	1	ancoms 268	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~<_ A ) -> C ~<_ B )
3		ensym 6875	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
4		domentr 6885	. . . 4 |- ( ( C ~<_ B /\ B ~~ A ) -> C ~<_ A )
5	4	ancoms 268	. . 3 |- ( ( B ~~ A /\ C ~<_ B ) -> C ~<_ A )
6	3, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~<_ B ) -> C ~<_ A )
7	2, 6	impbida 596	1 |- ( A ~~ B -> ( C ~<_ A <-> C ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   class class class wbr 4045   ~~ cen 6827   ~<_ cdom 6828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831

This theorem is referenced by:  fihashdom  10950