Theorem domen2 6737

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen2	|- ( A ~~ B -> ( C ~<_ A <-> C ~<_ B ) )

Proof of Theorem domen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domentr 6685	. . 3 |- ( ( C ~<_ A /\ A ~~ B ) -> C ~<_ B )
2	1	ancoms 266	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~<_ A ) -> C ~<_ B )
3		ensym 6675	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
4		domentr 6685	. . . 4 |- ( ( C ~<_ B /\ B ~~ A ) -> C ~<_ A )
5	4	ancoms 266	. . 3 |- ( ( B ~~ A /\ C ~<_ B ) -> C ~<_ A )
6	3, 5	sylan 281	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~<_ B ) -> C ~<_ A )
7	2, 6	impbida 585	1 |- ( A ~~ B -> ( C ~<_ A <-> C ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   class class class wbr 3929   ~~ cen 6632   ~<_ cdom 6633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636

This theorem is referenced by:  fihashdom  10549