Theorem domen2 6901

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen2	|- ( A ~~ B -> ( C ~<_ A <-> C ~<_ B ) )

Proof of Theorem domen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domentr 6847	. . 3 |- ( ( C ~<_ A /\ A ~~ B ) -> C ~<_ B )
2	1	ancoms 268	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~<_ A ) -> C ~<_ B )
3		ensym 6837	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
4		domentr 6847	. . . 4 |- ( ( C ~<_ B /\ B ~~ A ) -> C ~<_ A )
5	4	ancoms 268	. . 3 |- ( ( B ~~ A /\ C ~<_ B ) -> C ~<_ A )
6	3, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~<_ B ) -> C ~<_ A )
7	2, 6	impbida 596	1 |- ( A ~~ B -> ( C ~<_ A <-> C ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   class class class wbr 4030   ~~ cen 6794   ~<_ cdom 6795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798

This theorem is referenced by:  fihashdom  10877