Theorem enen2 6843

Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
enen2	|- ( A ~~ B -> ( C ~~ A <-> C ~~ B ) )

Proof of Theorem enen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entr 6786	. . 3 |- ( ( C ~~ A /\ A ~~ B ) -> C ~~ B )
2	1	ancoms 268	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ A ) -> C ~~ B )
3		ensym 6783	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
4		entr 6786	. . . 4 |- ( ( C ~~ B /\ B ~~ A ) -> C ~~ A )
5	4	ancoms 268	. . 3 |- ( ( B ~~ A /\ C ~~ B ) -> C ~~ A )
6	3, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ B ) -> C ~~ A )
7	2, 6	impbida 596	1 |- ( A ~~ B -> ( C ~~ A <-> C ~~ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   class class class wbr 4005   ~~ cen 6740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-er 6537  df-en 6743

This theorem is referenced by:  php5fin  6884  carden2bex  7190  hashen  10766