ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enen2 Unicode version

Theorem enen2 6547
Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
enen2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( C  ~~  A  <->  C  ~~  B ) )

Proof of Theorem enen2
StepHypRef Expression
1 entr 6491 . . 3  |-  ( ( C  ~~  A  /\  A  ~~  B )  ->  C  ~~  B )
21ancoms 264 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  A )  ->  C  ~~  B )
3 ensym 6488 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
4 entr 6491 . . . 4  |-  ( ( C  ~~  B  /\  B  ~~  A )  ->  C  ~~  A )
54ancoms 264 . . 3  |-  ( ( B  ~~  A  /\  C  ~~  B )  ->  C  ~~  A )
63, 5sylan 277 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  B )  ->  C  ~~  A )
72, 6impbida 563 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( C  ~~  A  <->  C  ~~  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103   class class class wbr 3843    ~~ cen 6445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-br 3844  df-opab 3898  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-er 6282  df-en 6448
This theorem is referenced by:  php5fin  6588  carden2bex  6807  hashen  10180
  Copyright terms: Public domain W3C validator