Theorem enen2 6547

Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
enen2	|- ( A ~~ B -> ( C ~~ A <-> C ~~ B ) )

Proof of Theorem enen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entr 6491	. . 3 |- ( ( C ~~ A /\ A ~~ B ) -> C ~~ B )
2	1	ancoms 264	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ A ) -> C ~~ B )
3		ensym 6488	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
4		entr 6491	. . . 4 |- ( ( C ~~ B /\ B ~~ A ) -> C ~~ A )
5	4	ancoms 264	. . 3 |- ( ( B ~~ A /\ C ~~ B ) -> C ~~ A )
6	3, 5	sylan 277	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ B ) -> C ~~ A )
7	2, 6	impbida 563	1 |- ( A ~~ B -> ( C ~~ A <-> C ~~ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   class class class wbr 3843   ~~ cen 6445

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-br 3844  df-opab 3898  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-er 6282  df-en 6448

This theorem is referenced by:  php5fin  6588  carden2bex  6807  hashen  10180