Theorem enen2 6888

Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
enen2	|- ( A ~~ B -> ( C ~~ A <-> C ~~ B ) )

Proof of Theorem enen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entr 6829	. . 3 |- ( ( C ~~ A /\ A ~~ B ) -> C ~~ B )
2	1	ancoms 268	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ A ) -> C ~~ B )
3		ensym 6826	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
4		entr 6829	. . . 4 |- ( ( C ~~ B /\ B ~~ A ) -> C ~~ A )
5	4	ancoms 268	. . 3 |- ( ( B ~~ A /\ C ~~ B ) -> C ~~ A )
6	3, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ B ) -> C ~~ A )
7	2, 6	impbida 596	1 |- ( A ~~ B -> ( C ~~ A <-> C ~~ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   class class class wbr 4029   ~~ cen 6783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-er 6578  df-en 6786

This theorem is referenced by:  php5fin  6929  carden2bex  7239  hashen  10842