Theorem enen2 6743

Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
enen2	|- ( A ~~ B -> ( C ~~ A <-> C ~~ B ) )

Proof of Theorem enen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entr 6686	. . 3 |- ( ( C ~~ A /\ A ~~ B ) -> C ~~ B )
2	1	ancoms 266	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ A ) -> C ~~ B )
3		ensym 6683	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
4		entr 6686	. . . 4 |- ( ( C ~~ B /\ B ~~ A ) -> C ~~ A )
5	4	ancoms 266	. . 3 |- ( ( B ~~ A /\ C ~~ B ) -> C ~~ A )
6	3, 5	sylan 281	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ B ) -> C ~~ A )
7	2, 6	impbida 586	1 |- ( A ~~ B -> ( C ~~ A <-> C ~~ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   class class class wbr 3937   ~~ cen 6640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-er 6437  df-en 6643

This theorem is referenced by:  php5fin  6784  carden2bex  7062  hashen  10562