Theorem enen2 6864

Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
enen2	|- ( A ~~ B -> ( C ~~ A <-> C ~~ B ) )

Proof of Theorem enen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entr 6805	. . 3 |- ( ( C ~~ A /\ A ~~ B ) -> C ~~ B )
2	1	ancoms 268	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ A ) -> C ~~ B )
3		ensym 6802	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
4		entr 6805	. . . 4 |- ( ( C ~~ B /\ B ~~ A ) -> C ~~ A )
5	4	ancoms 268	. . 3 |- ( ( B ~~ A /\ C ~~ B ) -> C ~~ A )
6	3, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ B ) -> C ~~ A )
7	2, 6	impbida 596	1 |- ( A ~~ B -> ( C ~~ A <-> C ~~ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   class class class wbr 4018   ~~ cen 6759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-er 6554  df-en 6762

This theorem is referenced by:  php5fin  6905  carden2bex  7213  hashen  10791