Theorem domen2 7024

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼ 𝐴 ↔ 𝐶 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem domen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domentr 6960	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
2	1	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐴) → 𝐶 ≼ 𝐵)
3		ensym 6950	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4		domentr 6960	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐶 ≼ 𝐴)
5	4	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐴)
6	3, 5	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐴)
7	2, 6	impbida 598	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼ 𝐴 ↔ 𝐶 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   class class class wbr 4086   ≈ cen 6902   ≼ cdom 6903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906

This theorem is referenced by:  fihashdom  11056