ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  domen2 GIF version

Theorem domen2 6705
Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
domen2 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))

Proof of Theorem domen2
StepHypRef Expression
1 domentr 6653 . . 3 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
21ancoms 266 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) → 𝐶𝐵)
3 ensym 6643 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 domentr 6653 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐵𝐴) → 𝐶𝐴)
54ancoms 266 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
63, 5sylan 281 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
72, 6impbida 570 1 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   class class class wbr 3899  cen 6600  cdom 6601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604
This theorem is referenced by:  fihashdom  10517
  Copyright terms: Public domain W3C validator