Theorem eliooxr 9824

Description: An inhabited open interval spans an interval of extended reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eliooxr	|- ( A e. ( B (,) C ) -> ( B e. RR* /\ C e. RR* ) )

Proof of Theorem eliooxr

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 9789	. 2 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
2	1	elmpocl 6015	1 |- ( A e. ( B (,) C ) -> ( B e. RR* /\ C e. RR* ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   {crab 2439   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   RR*cxr 7905   < clt 7906   (,)cioo 9785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-ioo 9789

This theorem is referenced by:  eliooord  9825  elioo4g  9831  iccssioo2  9843  tgioo  12917