Theorem icc0r 10259

Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
icc0r	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A -> ( A [,] B ) = (/) ) )

Proof of Theorem icc0r

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletr 10141	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
2	1	3com23 1236	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
3	2	3expa 1230	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
4	3	rexlimdva 2660	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
5		xrlenlt 8338	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
6	4, 5	sylibd 149	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) -> -. B < A ) )
7	6	con2d 629	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A -> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) ) )
8		iccval 10253	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A [,] B ) = { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } )
9	8	eqeq1d 2241	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) ) )
10		rabeq0 3538	. . . 4 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> A. x e. RR* -. ( A <_ x /\ x <_ B ) )
11		ralnex 2530	. . . 4 |- ( A. x e. RR* -. ( A <_ x /\ x <_ B ) <-> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
12	10, 11	bitri 184	. . 3 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
13	9, 12	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) ) )
14	7, 13	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A -> ( A [,] B ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   (/)c0 3508   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RR*cxr 8307   < clt 8308   <_ cle 8309   [,]cicc 10224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-icc 10228

This theorem is referenced by: (None)