Theorem icc0r 9862

Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
icc0r	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A -> ( A [,] B ) = (/) ) )

Proof of Theorem icc0r

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletr 9744	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
2	1	3com23 1199	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
3	2	3expa 1193	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
4	3	rexlimdva 2583	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
5		xrlenlt 7963	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
6	4, 5	sylibd 148	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) -> -. B < A ) )
7	6	con2d 614	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A -> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) ) )
8		iccval 9856	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A [,] B ) = { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } )
9	8	eqeq1d 2174	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) ) )
10		rabeq0 3438	. . . 4 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> A. x e. RR* -. ( A <_ x /\ x <_ B ) )
11		ralnex 2454	. . . 4 |- ( A. x e. RR* -. ( A <_ x /\ x <_ B ) <-> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
12	10, 11	bitri 183	. . 3 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
13	9, 12	bitrdi 195	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) ) )
14	7, 13	sylibrd 168	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A -> ( A [,] B ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   {crab 2448   (/)c0 3409   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RR*cxr 7932   < clt 7933   <_ cle 7934   [,]cicc 9827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-icc 9831

This theorem is referenced by: (None)