ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icc0r Unicode version

Theorem icc0r 9344
Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
icc0r  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  ( A [,] B )  =  (/) ) )

Proof of Theorem icc0r
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrletr 9273 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
213com23 1149 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
323expa 1143 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( A  <_  x  /\  x  <_  B
)  ->  A  <_  B ) )
43rexlimdva 2489 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B ) )
5 xrlenlt 7551 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
64, 5sylibd 147 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  -.  B  <  A ) )
76con2d 589 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  -.  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8 iccval 9338 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A [,] B )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) } )
98eqeq1d 2096 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/) ) )
10 rabeq0 3312 . . . 4  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  RR*  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
11 ralnex 2369 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR*  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  -.  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
1210, 11bitri 182 . . 3  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  -.  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
139, 12syl6bb 194 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  -.  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
147, 13sylibrd 167 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  ( A [,] B )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   {crab 2363   (/)c0 3286   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RR*cxr 7521    < clt 7522    <_ cle 7523   [,]cicc 9309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-icc 9313
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator