Theorem icc0r 9992

Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
icc0r	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A -> ( A [,] B ) = (/) ) )

Proof of Theorem icc0r

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletr 9874	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
2	1	3com23 1211	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
3	2	3expa 1205	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
4	3	rexlimdva 2611	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
5		xrlenlt 8084	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
6	4, 5	sylibd 149	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) -> -. B < A ) )
7	6	con2d 625	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A -> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) ) )
8		iccval 9986	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A [,] B ) = { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } )
9	8	eqeq1d 2202	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) ) )
10		rabeq0 3476	. . . 4 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> A. x e. RR* -. ( A <_ x /\ x <_ B ) )
11		ralnex 2482	. . . 4 |- ( A. x e. RR* -. ( A <_ x /\ x <_ B ) <-> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
12	10, 11	bitri 184	. . 3 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
13	9, 12	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) ) )
14	7, 13	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A -> ( A [,] B ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   (/)c0 3446   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RR*cxr 8053   < clt 8054   <_ cle 8055   [,]cicc 9957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-icc 9961

This theorem is referenced by: (None)