Theorem icc0r 10018

Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
icc0r	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A -> ( A [,] B ) = (/) ) )

Proof of Theorem icc0r

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletr 9900	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
2	1	3com23 1211	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
3	2	3expa 1205	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
4	3	rexlimdva 2614	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
5		xrlenlt 8108	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
6	4, 5	sylibd 149	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) -> -. B < A ) )
7	6	con2d 625	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A -> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) ) )
8		iccval 10012	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A [,] B ) = { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } )
9	8	eqeq1d 2205	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) ) )
10		rabeq0 3481	. . . 4 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> A. x e. RR* -. ( A <_ x /\ x <_ B ) )
11		ralnex 2485	. . . 4 |- ( A. x e. RR* -. ( A <_ x /\ x <_ B ) <-> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
12	10, 11	bitri 184	. . 3 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
13	9, 12	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> -. E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) ) )
14	7, 13	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A -> ( A [,] B ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   (/)c0 3451   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   RR*cxr 8077   < clt 8078   <_ cle 8079   [,]cicc 9983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-icc 9987

This theorem is referenced by: (None)