Theorem eliooord 9711

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	|- ( A e. ( B (,) C ) -> ( B < A /\ A < C ) )

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 9710	. . . 4 |- ( A e. ( B (,) C ) -> ( B e. RR* /\ C e. RR* ) )
2		elioo2 9704	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A e. ( B (,) C ) <-> ( A e. RR /\ B < A /\ A < C ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( B (,) C ) -> ( A e. ( B (,) C ) <-> ( A e. RR /\ B < A /\ A < C ) ) )
4	3	ibi 175	. 2 |- ( A e. ( B (,) C ) -> ( A e. RR /\ B < A /\ A < C ) )
5		3simpc 980	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B < A /\ A < C ) -> ( B < A /\ A < C ) )
6	4, 5	syl 14	1 |- ( A e. ( B (,) C ) -> ( B < A /\ A < C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   RR*cxr 7799   < clt 7800   (,)cioo 9671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-ioo 9675

This theorem is referenced by:  elioo4g  9717  iccssioo2  9729  sin0pilem1  12862  sin0pilem2  12863  pilem3  12864  pigt2lt4  12865  tangtx  12919