Theorem ellspsn3 14852

Description: A member of the span of the singleton of a vector is a member of a subspace containing the vector. (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnss.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsnss.n	|- N = ( LSpan ` W )
ellspsn3.w	|- ( ph -> W e. LMod )
ellspsn3.u	|- ( ph -> U e. S )
ellspsn3.x	|- ( ph -> X e. U )
ellspsn3.y	|- ( ph -> Y e. ( N ` { X } ) )

Assertion

Ref	Expression
ellspsn3	|- ( ph -> Y e. U )

Proof of Theorem ellspsn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn3.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		ellspsn3.u	. . 3 |- ( ph -> U e. S )
3		ellspsn3.x	. . 3 |- ( ph -> X e. U )
4		lspsnss.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
5		lspsnss.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
6	4, 5	lspsnss 14851	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( N ` { X } ) C_ U )
8		ellspsn3.y	. 2 |- ( ph -> Y e. ( N ` { X } ) )
9	7, 8	sseldd 3249	1 |- ( ph -> Y e. U )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   {csn 3709   ` cfv 5380   LModclmod 14733   LSubSpclss 14799   LSpanclspn 14833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-lmod 14735  df-lssm 14800  df-lsp 14834

This theorem is used by: (None)