Theorem lspprss 14329

Description: The span of a pair of vectors in a subspace belongs to the subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprss.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspprss.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspprss.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspprss.u	|- ( ph -> U e. S )
lspprss.x	|- ( ph -> X e. U )
lspprss.y	|- ( ph -> Y e. U )

Assertion

Ref	Expression
lspprss	|- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) C_ U )

Proof of Theorem lspprss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprss.w	. 2 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lspprss.u	. 2 |- ( ph -> U e. S )
3		lspprss.x	. . 3 |- ( ph -> X e. U )
4		lspprss.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. U )
5	3, 4	prssd 3804	. 2 |- ( ph -> { X , Y } C_ U )
6		lspprss.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
7		lspprss.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
8	6, 7	lspssp 14326	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ { X , Y } C_ U ) -> ( N ` { X , Y } ) C_ U )
9	1, 2, 5, 8	syl3anc 1250	1 |- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) C_ U )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   C_ wss 3175   {cpr 3645   ` cfv 5291   LModclmod 14210   LSubSpclss 14275   LSpanclspn 14309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1re 8056  ax-addrcl 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-plusg 13083  df-mulr 13084  df-sca 13086  df-vsca 13087  df-0g 13251  df-mgm 13349  df-sgrp 13395  df-mnd 13410  df-grp 13496  df-lmod 14212  df-lssm 14276  df-lsp 14310

This theorem is referenced by: (None)