Theorem elpm 6581

Description: The predicate "is a partial function." (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmap.1	|- A e. _V
elmap.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
elpm	|- ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( Fun F /\ F C_ ( B X. A ) ) )

Proof of Theorem elpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmap.1	. 2 |- A e. _V
2		elmap.2	. 2 |- B e. _V
3		elpmg 6566	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( Fun F /\ F C_ ( B X. A ) ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 423	1 |- ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( Fun F /\ F C_ ( B X. A ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   X. cxp 4545   Fun wfun 5125  (class class class)co 5782   ^pm cpm 6551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pm 6553

This theorem is referenced by: (None)