Theorem elpm2 6827

Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmap.1	|- A e. _V
elmap.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
elpm2	|- ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Proof of Theorem elpm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmap.1	. 2 |- A e. _V
2		elmap.2	. 2 |- B e. _V
3		elpm2g 6812	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   dom cdm 4719   -->wf 5314  (class class class)co 6001   ^pm cpm 6796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pm 6798

This theorem is referenced by:  limcrcl  15332  dvcjbr  15382  dvcj  15383  dvfre  15384  dvrecap  15387