Theorem elpm2 6676

Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmap.1	|- A e. _V
elmap.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
elpm2	|- ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Proof of Theorem elpm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmap.1	. 2 |- A e. _V
2		elmap.2	. 2 |- B e. _V
3		elpm2g 6661	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   dom cdm 4625   -->wf 5210  (class class class)co 5871   ^pm cpm 6645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-pm 6647

This theorem is referenced by:  limcrcl  13989  dvcjbr  14034  dvcj  14035  dvfre  14036  dvrecap  14039