Theorem eltop2 13203

Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
eltop2	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem eltop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 13201	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
2	1	eleq2d 2247	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ 𝐽))
3		eltg2b 13187	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))
4	2, 3	bitr3d 190	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ⊆ wss 3129  ‘cfv 5211  topGenctg 12638  Topctop 13128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-topgen 12644  df-top 13129

This theorem is referenced by:  cncnp  13363