Theorem cncnp 14550

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncnp	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   x, Y

Proof of Theorem cncnp

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 14517	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
2	1	simprbda 383	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
3		eqid 2196	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
4	3	cncnpi 14548	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ x e. U. J ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
5	4	ralrimiva 2570	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
7		toponuni 14335	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
8	7	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> X = U. J )
9	8	raleqdv 2699	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
10	6, 9	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
11	2, 10	jca 306	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
12		simprl 529	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F : X --> Y )
13		cnvimass 5033	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " y ) C_ dom F
14		fdm 5416	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> dom F = X )
16	13, 15	sseqtrid 3234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
17		ssralv 3248	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " y ) C_ X -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
19		simp-4l 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
20		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
21		topontop 14334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> K e. Top )
23		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
24		cnprcl2k 14526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> x e. X )
25	19, 22, 23, 24	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> x e. X )
26		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> y e. K )
27		ffn 5410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> F Fn X )
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F Fn X )
29		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> x e. ( `' F " y ) )
30		elpreima 5684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn X -> ( x e. ( `' F " y ) <-> ( x e. X /\ ( F ` x ) e. y ) ) )
31	30	simplbda 384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn X /\ x e. ( `' F " y ) ) -> ( F ` x ) e. y )
32	28, 29, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( F ` x ) e. y )
33		icnpimaex 14531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ x e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) /\ y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
34	19, 20, 25, 23, 26, 32, 33	syl33anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
35		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> F : X --> Y )
36	35	ffund 5414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> Fun F )
37		toponss 14346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ u e. J ) -> u C_ X )
38	19, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> u C_ X )
39	35	fdmd 5417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> dom F = X )
40	38, 39	sseqtrrd 3223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> u C_ dom F )
41		funimass3 5681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun F /\ u C_ dom F ) -> ( ( F " u ) C_ y <-> u C_ ( `' F " y ) ) )
42	36, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> ( ( F " u ) C_ y <-> u C_ ( `' F " y ) ) )
43	42	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> ( ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) <-> ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
44	43	rexbidva 2494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) <-> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
45	34, 44	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
46	45	expr 375	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. ( `' F " y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
47	46	ralimdva 2564	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
48	18, 47	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
49	48	impr 379	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
50	49	an32s 568	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
51		topontop 14334	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
52	51	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> J e. Top )
53		eltop2 14390	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
55	50, 54	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
56	55	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> A. y e. K ( `' F " y ) e. J )
57	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
58	12, 56, 57	mpbir2and 946	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
59	11, 58	impbida 596	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   U.cuni 3840   `'ccnv 4663   dom cdm 4664   "cima 4667   Fun wfun 5253   Fn wfn 5254   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Topctop 14317  TopOnctopon 14330   Cn ccn 14505   CnP ccnp 14506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-topgen 12962  df-top 14318  df-topon 14331  df-cn 14508  df-cnp 14509

This theorem is referenced by:  cncnp2m  14551  cnnei  14552  cnconst2  14553  metcn  14834  txmetcn  14839  cnlimcim  14991  cnlimc  14992  dvcn  15020