Theorem cncnp 13301

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncnp	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   x, Y

Proof of Theorem cncnp

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 13268	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
2	1	simprbda 383	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
3		eqid 2175	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
4	3	cncnpi 13299	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ x e. U. J ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
5	4	ralrimiva 2548	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
7		toponuni 13084	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
8	7	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> X = U. J )
9	8	raleqdv 2676	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
10	6, 9	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
11	2, 10	jca 306	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
12		simprl 529	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F : X --> Y )
13		cnvimass 4984	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " y ) C_ dom F
14		fdm 5363	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> dom F = X )
16	13, 15	sseqtrid 3203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
17		ssralv 3217	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " y ) C_ X -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
19		simp-4l 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
20		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
21		topontop 13083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> K e. Top )
23		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
24		cnprcl2k 13277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> x e. X )
25	19, 22, 23, 24	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> x e. X )
26		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> y e. K )
27		ffn 5357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> F Fn X )
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F Fn X )
29		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> x e. ( `' F " y ) )
30		elpreima 5627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn X -> ( x e. ( `' F " y ) <-> ( x e. X /\ ( F ` x ) e. y ) ) )
31	30	simplbda 384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn X /\ x e. ( `' F " y ) ) -> ( F ` x ) e. y )
32	28, 29, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( F ` x ) e. y )
33		icnpimaex 13282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ x e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) /\ y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
34	19, 20, 25, 23, 26, 32, 33	syl33anc 1253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
35		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> F : X --> Y )
36	35	ffund 5361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> Fun F )
37		toponss 13095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ u e. J ) -> u C_ X )
38	19, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> u C_ X )
39	35	fdmd 5364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> dom F = X )
40	38, 39	sseqtrrd 3192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> u C_ dom F )
41		funimass3 5624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun F /\ u C_ dom F ) -> ( ( F " u ) C_ y <-> u C_ ( `' F " y ) ) )
42	36, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> ( ( F " u ) C_ y <-> u C_ ( `' F " y ) ) )
43	42	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> ( ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) <-> ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
44	43	rexbidva 2472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) <-> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
45	34, 44	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
46	45	expr 375	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. ( `' F " y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
47	46	ralimdva 2542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
48	18, 47	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
49	48	impr 379	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
50	49	an32s 568	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
51		topontop 13083	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
52	51	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> J e. Top )
53		eltop2 13141	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
55	50, 54	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
56	55	ralrimiva 2548	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> A. y e. K ( `' F " y ) e. J )
57	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
58	12, 56, 57	mpbir2and 944	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
59	11, 58	impbida 596	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   C_ wss 3127   U.cuni 3805   `'ccnv 4619   dom cdm 4620   "cima 4623   Fun wfun 5202   Fn wfn 5203   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Topctop 13066  TopOnctopon 13079   Cn ccn 13256   CnP ccnp 13257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-topgen 12631  df-top 13067  df-topon 13080  df-cn 13259  df-cnp 13260

This theorem is referenced by:  cncnp2m  13302  cnnei  13303  cnconst2  13304  metcn  13585  txmetcn  13590  cnlimcim  13711  cnlimc  13712  dvcn  13735