Theorem cncnp 14398

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncnp	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   x, Y

Proof of Theorem cncnp

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 14365	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
2	1	simprbda 383	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
3		eqid 2193	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
4	3	cncnpi 14396	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ x e. U. J ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
5	4	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
7		toponuni 14183	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
8	7	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> X = U. J )
9	8	raleqdv 2696	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
10	6, 9	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
11	2, 10	jca 306	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
12		simprl 529	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F : X --> Y )
13		cnvimass 5028	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " y ) C_ dom F
14		fdm 5409	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> dom F = X )
16	13, 15	sseqtrid 3229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
17		ssralv 3243	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " y ) C_ X -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
19		simp-4l 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
20		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
21		topontop 14182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> K e. Top )
23		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
24		cnprcl2k 14374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> x e. X )
25	19, 22, 23, 24	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> x e. X )
26		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> y e. K )
27		ffn 5403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> F Fn X )
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F Fn X )
29		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> x e. ( `' F " y ) )
30		elpreima 5677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn X -> ( x e. ( `' F " y ) <-> ( x e. X /\ ( F ` x ) e. y ) ) )
31	30	simplbda 384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn X /\ x e. ( `' F " y ) ) -> ( F ` x ) e. y )
32	28, 29, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( F ` x ) e. y )
33		icnpimaex 14379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ x e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) /\ y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
34	19, 20, 25, 23, 26, 32, 33	syl33anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
35		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> F : X --> Y )
36	35	ffund 5407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> Fun F )
37		toponss 14194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ u e. J ) -> u C_ X )
38	19, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> u C_ X )
39	35	fdmd 5410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> dom F = X )
40	38, 39	sseqtrrd 3218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> u C_ dom F )
41		funimass3 5674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun F /\ u C_ dom F ) -> ( ( F " u ) C_ y <-> u C_ ( `' F " y ) ) )
42	36, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> ( ( F " u ) C_ y <-> u C_ ( `' F " y ) ) )
43	42	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> ( ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) <-> ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
44	43	rexbidva 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) <-> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
45	34, 44	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
46	45	expr 375	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. ( `' F " y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
47	46	ralimdva 2561	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
48	18, 47	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
49	48	impr 379	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
50	49	an32s 568	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
51		topontop 14182	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
52	51	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> J e. Top )
53		eltop2 14238	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
55	50, 54	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
56	55	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> A. y e. K ( `' F " y ) e. J )
57	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
58	12, 56, 57	mpbir2and 946	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
59	11, 58	impbida 596	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3153   U.cuni 3835   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   "cima 4662   Fun wfun 5248   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Topctop 14165  TopOnctopon 14178   Cn ccn 14353   CnP ccnp 14354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-topgen 12871  df-top 14166  df-topon 14179  df-cn 14356  df-cnp 14357

This theorem is referenced by:  cncnp2m  14399  cnnei  14400  cnconst2  14401  metcn  14682  txmetcn  14687  cnlimcim  14825  cnlimc  14826  dvcn  14849