Theorem cncnp 15041

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncnp	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   x, Y

Proof of Theorem cncnp

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 15008	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
2	1	simprbda 383	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
3		eqid 2231	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
4	3	cncnpi 15039	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ x e. U. J ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
5	4	ralrimiva 2606	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
7		toponuni 14826	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
8	7	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> X = U. J )
9	8	raleqdv 2737	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
10	6, 9	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
11	2, 10	jca 306	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
12		simprl 531	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F : X --> Y )
13		cnvimass 5106	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " y ) C_ dom F
14		fdm 5495	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> dom F = X )
16	13, 15	sseqtrid 3278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
17		ssralv 3292	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " y ) C_ X -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
19		simp-4l 543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
20		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
21		topontop 14825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> K e. Top )
23		simprr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
24		cnprcl2k 15017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> x e. X )
25	19, 22, 23, 24	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> x e. X )
26		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> y e. K )
27		ffn 5489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> F Fn X )
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F Fn X )
29		simprl 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> x e. ( `' F " y ) )
30		elpreima 5775	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn X -> ( x e. ( `' F " y ) <-> ( x e. X /\ ( F ` x ) e. y ) ) )
31	30	simplbda 384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn X /\ x e. ( `' F " y ) ) -> ( F ` x ) e. y )
32	28, 29, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( F ` x ) e. y )
33		icnpimaex 15022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ x e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) /\ y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
34	19, 20, 25, 23, 26, 32, 33	syl33anc 1289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
35		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> F : X --> Y )
36	35	ffund 5493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> Fun F )
37		toponss 14837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ u e. J ) -> u C_ X )
38	19, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> u C_ X )
39	35	fdmd 5496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> dom F = X )
40	38, 39	sseqtrrd 3267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> u C_ dom F )
41		funimass3 5772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun F /\ u C_ dom F ) -> ( ( F " u ) C_ y <-> u C_ ( `' F " y ) ) )
42	36, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> ( ( F " u ) C_ y <-> u C_ ( `' F " y ) ) )
43	42	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> ( ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) <-> ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
44	43	rexbidva 2530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) <-> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
45	34, 44	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
46	45	expr 375	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. ( `' F " y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
47	46	ralimdva 2600	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
48	18, 47	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
49	48	impr 379	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
50	49	an32s 570	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
51		topontop 14825	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
52	51	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> J e. Top )
53		eltop2 14881	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
55	50, 54	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
56	55	ralrimiva 2606	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> A. y e. K ( `' F " y ) e. J )
57	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
58	12, 56, 57	mpbir2and 953	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
59	11, 58	impbida 600	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   C_ wss 3201   U.cuni 3898   `'ccnv 4730   dom cdm 4731   "cima 4734   Fun wfun 5327   Fn wfn 5328   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Topctop 14808  TopOnctopon 14821   Cn ccn 14996   CnP ccnp 14997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-topgen 13423  df-top 14809  df-topon 14822  df-cn 14999  df-cnp 15000

This theorem is referenced by:  cncnp2m  15042  cnnei  15043  cnconst2  15044  metcn  15325  txmetcn  15330  cnlimcim  15482  cnlimc  15483  dvcn  15511