Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncnp Unicode version

Theorem cncnp 12438
 Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncnp TopOn TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cncnp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscn 12405 . . . 4 TopOn TopOn
21simprbda 381 . . 3 TopOn TopOn
3 eqid 2140 . . . . . . 7
43cncnpi 12436 . . . . . 6
54ralrimiva 2508 . . . . 5
65adantl 275 . . . 4 TopOn TopOn
7 toponuni 12221 . . . . . 6 TopOn
87ad2antrr 480 . . . . 5 TopOn TopOn
98raleqdv 2635 . . . 4 TopOn TopOn
106, 9mpbird 166 . . 3 TopOn TopOn
112, 10jca 304 . 2 TopOn TopOn
12 simprl 521 . . 3 TopOn TopOn
13 cnvimass 4910 . . . . . . . . . 10
14 fdm 5286 . . . . . . . . . . 11
1514adantl 275 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
1613, 15sseqtrid 3152 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
17 ssralv 3166 . . . . . . . . 9
1816, 17syl 14 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
19 simp-4l 531 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn TopOn
20 simp-4r 532 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn TopOn
21 topontop 12220 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
2220, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
23 simprr 522 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
24 cnprcl2k 12414 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
2519, 22, 23, 24syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
26 simpllr 524 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
27 ffn 5280 . . . . . . . . . . . . . 14
2827ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
29 simprl 521 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
30 elpreima 5547 . . . . . . . . . . . . . 14
3130simplbda 382 . . . . . . . . . . . . 13
3228, 29, 31syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
33 icnpimaex 12419 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
3419, 20, 25, 23, 26, 32, 33syl33anc 1232 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
35 simpllr 524 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn
3635ffund 5284 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
37 toponss 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
3819, 37sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn
3935fdmd 5287 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn
4038, 39sseqtrrd 3141 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
41 funimass3 5544 . . . . . . . . . . . . . 14
4236, 40, 41syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
4342anbi2d 460 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
4443rexbidva 2435 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
4534, 44mpbid 146 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
4645expr 373 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
4746ralimdva 2502 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
4818, 47syld 45 . . . . . . 7 TopOn TopOn
4948impr 377 . . . . . 6 TopOn TopOn
5049an32s 558 . . . . 5 TopOn TopOn
51 topontop 12220 . . . . . . 7 TopOn
5251ad3antrrr 484 . . . . . 6 TopOn TopOn
53 eltop2 12278 . . . . . 6
5452, 53syl 14 . . . . 5 TopOn TopOn
5550, 54mpbird 166 . . . 4 TopOn TopOn
5655ralrimiva 2508 . . 3 TopOn TopOn
571adantr 274 . . 3 TopOn TopOn
5812, 56, 57mpbir2and 929 . 2 TopOn TopOn
5911, 58impbida 586 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  wrex 2418   wss 3076  cuni 3744  ccnv 4546   cdm 4547  cima 4550   wfun 5125   wfn 5126  wf 5127  cfv 5131  (class class class)co 5782  ctop 12203  TopOnctopon 12216   ccn 12393   ccnp 12394 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-map 6552  df-topgen 12180  df-top 12204  df-topon 12217  df-cn 12396  df-cnp 12397 This theorem is referenced by:  cncnp2m  12439  cnnei  12440  cnconst2  12441  metcn  12722  txmetcn  12727  cnlimcim  12848  cnlimc  12849  dvcn  12872
 Copyright terms: Public domain W3C validator