Theorem cncnp 15331

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncnp	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   x, Y

Proof of Theorem cncnp

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 15298	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
2	1	simprbda 383	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
3		eqid 2238	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
4	3	cncnpi 15329	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ x e. U. J ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
5	4	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
7		toponuni 15116	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
8	7	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> X = U. J )
9	8	raleqdv 2755	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. x e. U. J F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
10	6, 9	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
11	2, 10	jca 306	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
12		simprl 535	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F : X --> Y )
13		cnvimass 5150	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " y ) C_ dom F
14		fdm 5539	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> dom F = X )
16	13, 15	sseqtrid 3298	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
17		ssralv 3312	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " y ) C_ X -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
19		simp-4l 547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
20		simp-4r 548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
21		topontop 15115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> K e. Top )
23		simprr 537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
24		cnprcl2k 15307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> x e. X )
25	19, 22, 23, 24	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> x e. X )
26		simpllr 540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> y e. K )
27		ffn 5533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> F Fn X )
28	27	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F Fn X )
29		simprl 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> x e. ( `' F " y ) )
30		elpreima 5828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn X -> ( x e. ( `' F " y ) <-> ( x e. X /\ ( F ` x ) e. y ) ) )
31	30	simplbda 384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn X /\ x e. ( `' F " y ) ) -> ( F ` x ) e. y )
32	28, 29, 31	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( F ` x ) e. y )
33		icnpimaex 15312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ x e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) /\ y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
34	19, 20, 25, 23, 26, 32, 33	syl33anc 1293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
35		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> F : X --> Y )
36	35	ffund 5537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> Fun F )
37		toponss 15127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ u e. J ) -> u C_ X )
38	19, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> u C_ X )
39	35	fdmd 5540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> dom F = X )
40	38, 39	sseqtrrd 3287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> u C_ dom F )
41		funimass3 5825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun F /\ u C_ dom F ) -> ( ( F " u ) C_ y <-> u C_ ( `' F " y ) ) )
42	36, 40, 41	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> ( ( F " u ) C_ y <-> u C_ ( `' F " y ) ) )
43	42	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ u e. J ) -> ( ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) <-> ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
44	43	rexbidva 2547	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) <-> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
45	34, 44	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ ( x e. ( `' F " y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
46	45	expr 375	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. ( `' F " y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
47	46	ralimdva 2617	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. ( `' F " y ) F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
48	18, 47	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
49	48	impr 379	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ y e. K ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
50	49	an32s 574	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) )
51		topontop 15115	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
52	51	ad3antrrr 496	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> J e. Top )
53		eltop2 15171	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( `' F " y ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( `' F " y ) ) ) )
55	50, 54	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
56	55	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> A. y e. K ( `' F " y ) e. J )
57	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
58	12, 56, 57	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
59	11, 58	impbida 604	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   U.cuni 3935   `'ccnv 4773   dom cdm 4774   "cima 4777   Fun wfun 5371   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Topctop 15098  TopOnctopon 15111   Cn ccn 15286   CnP ccnp 15287

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-topgen 13614  df-top 15099  df-topon 15112  df-cn 15289  df-cnp 15290

This theorem is used by:  cncnp2m  15332  cnnei  15333  cnconst2  15334  metcn  15615  txmetcn  15620  cnlimcim  15772  cnlimc  15773  dvcn  15801