Theorem f1ofveu 5913

Description: There is one domain element for each value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ofveu	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> E! x e. A ( F ` x ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, F

Proof of Theorem f1ofveu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5520	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
2		f1of 5507	. . . 4 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B --> A )
4		feu 5443	. . 3 |- ( ( `' F : B --> A /\ C e. B ) -> E! x e. A <. C , x >. e. `' F )
5	3, 4	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> E! x e. A <. C , x >. e. `' F )
6		f1ocnvfvb 5830	. . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ x e. A /\ C e. B ) -> ( ( F ` x ) = C <-> ( `' F ` C ) = x ) )
7	6	3com23 1211	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = C <-> ( `' F ` C ) = x ) )
8		dff1o4 5515	. . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( F Fn A /\ `' F Fn B ) )
9	8	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F Fn B )
10		fnopfvb 5605	. . . . . . 7 |- ( ( `' F Fn B /\ C e. B ) -> ( ( `' F ` C ) = x <-> <. C , x >. e. `' F ) )
11	10	3adant3 1019	. . . . . 6 |- ( ( `' F Fn B /\ C e. B /\ x e. A ) -> ( ( `' F ` C ) = x <-> <. C , x >. e. `' F ) )
12	9, 11	syl3an1 1282	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B /\ x e. A ) -> ( ( `' F ` C ) = x <-> <. C , x >. e. `' F ) )
13	7, 12	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = C <-> <. C , x >. e. `' F ) )
14	13	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = C <-> <. C , x >. e. `' F ) )
15	14	reubidva 2680	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( E! x e. A ( F ` x ) = C <-> E! x e. A <. C , x >. e. `' F ) )
16	5, 15	mpbird 167	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> E! x e. A ( F ` x ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   E!wreu 2477   <.cop 3626   `'ccnv 4663   Fn wfn 5254   -->wf 5255   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  1arith2  12562