Theorem fmptapd 5611

Description: Append an additional value to a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptapd.0a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
fmptapd.0b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
fmptapd.1	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∪ {𝐴}) = 𝑆)
fmptapd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmptapd	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem fmptapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptapd.0a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
2		fmptapd.0b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
3		fmptsn 5609	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
5		elsni 3545	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
6		fmptapd.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐵)
7	5, 6	sylan2 284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐴}) → 𝐶 = 𝐵)
8	7	mpteq2dva 4018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
9	4, 8	eqtr4d 2175	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶))
10	9	uneq2d 3230	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶)))
11		mptun 5254	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶))
12	11	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶)))
13		fmptapd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∪ {𝐴}) = 𝑆)
14	13	mpteq1d 4013	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐶))
15	10, 12, 14	3eqtr2d 2178	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ∪ cun 3069  {csn 3527  ⟨cop 3530   ↦ cmpt 3989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130

This theorem is referenced by:  fmptpr  5612