ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptapd GIF version

Theorem fmptapd 5445
Description: Append an additional value to a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptapd.0a (𝜑𝐴 ∈ V)
fmptapd.0b (𝜑𝐵 ∈ V)
fmptapd.1 (𝜑 → (𝑅 ∪ {𝐴}) = 𝑆)
fmptapd.2 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fmptapd (𝜑 → ((𝑥𝑅𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (𝑥𝑆𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem fmptapd
StepHypRef Expression
1 fmptapd.0a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
2 fmptapd.0b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
3 fmptsn 5443 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 403 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
5 elsni 3449 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
6 fmptapd.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐵)
75, 6sylan2 280 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝐴}) → 𝐶 = 𝐵)
87mpteq2dva 3903 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
94, 8eqtr4d 2120 . . 3 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶))
109uneq2d 3143 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑅𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑥𝑅𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶)))
11 mptun 5106 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = ((𝑥𝑅𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶))
1211a1i 9 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = ((𝑥𝑅𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶)))
13 fmptapd.1 . . 3 (𝜑 → (𝑅 ∪ {𝐴}) = 𝑆)
1413mpteq1d 3898 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = (𝑥𝑆𝐶))
1510, 12, 143eqtr2d 2123 1 (𝜑 → ((𝑥𝑅𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (𝑥𝑆𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  Vcvv 2615  cun 2986  {csn 3431  cop 3434  cmpt 3874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-pr 4009
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4093  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-rn 4421  df-fun 4980  df-fn 4981  df-f 4982  df-f1 4983  df-fo 4984  df-f1o 4985
This theorem is referenced by:  fmptpr  5446
  Copyright terms: Public domain W3C validator