Theorem fmptapd 5670

Description: Append an additional value to a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptapd.0a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
fmptapd.0b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
fmptapd.1	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∪ {𝐴}) = 𝑆)
fmptapd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmptapd	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem fmptapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptapd.0a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
2		fmptapd.0b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
3		fmptsn 5668	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
5		elsni 3588	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
6		fmptapd.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐵)
7	5, 6	sylan2 284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐴}) → 𝐶 = 𝐵)
8	7	mpteq2dva 4066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
9	4, 8	eqtr4d 2200	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶))
10	9	uneq2d 3271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶)))
11		mptun 5313	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶))
12	11	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶)))
13		fmptapd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∪ {𝐴}) = 𝑆)
14	13	mpteq1d 4061	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐶))
15	10, 12, 14	3eqtr2d 2203	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  Vcvv 2721   ∪ cun 3109  {csn 3570  ⟨cop 3573   ↦ cmpt 4037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189

This theorem is referenced by:  fmptpr  5671