Theorem fmptapd 5753

Description: Append an additional value to a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptapd.0a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
fmptapd.0b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
fmptapd.1	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∪ {𝐴}) = 𝑆)
fmptapd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmptapd	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem fmptapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptapd.0a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
2		fmptapd.0b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
3		fmptsn 5751	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
5		elsni 3640	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
6		fmptapd.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐵)
7	5, 6	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐴}) → 𝐶 = 𝐵)
8	7	mpteq2dva 4123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
9	4, 8	eqtr4d 2232	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶))
10	9	uneq2d 3317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶)))
11		mptun 5389	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶))
12	11	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐶)))
13		fmptapd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∪ {𝐴}) = 𝑆)
14	13	mpteq1d 4118	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 ∪ {𝐴}) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐶))
15	10, 12, 14	3eqtr2d 2235	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ 𝐶) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  {csn 3622  ⟨cop 3625   ↦ cmpt 4094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265

This theorem is referenced by:  fmptpr  5754