ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprg GIF version

Theorem fprg 5720
Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fprg (((𝐴𝐸𝐵𝐹) ∧ (𝐶𝐺𝐷𝐻) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})

Proof of Theorem fprg
StepHypRef Expression
1 fnprg 5290 . 2 (((𝐴𝐸𝐵𝐹) ∧ (𝐶𝐺𝐷𝐻) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵})
2 rnsnopg 5125 . . . . . . 7 (𝐴𝐸 → ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐶})
32adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴𝐸𝐵𝐹) → ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐶})
433ad2ant1 1020 . . . . 5 (((𝐴𝐸𝐵𝐹) ∧ (𝐶𝐺𝐷𝐻) ∧ 𝐴𝐵) → ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐶})
5 rnsnopg 5125 . . . . . . 7 (𝐵𝐹 → ran {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐷})
65adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴𝐸𝐵𝐹) → ran {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐷})
763ad2ant1 1020 . . . . 5 (((𝐴𝐸𝐵𝐹) ∧ (𝐶𝐺𝐷𝐻) ∧ 𝐴𝐵) → ran {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐷})
84, 7uneq12d 3305 . . . 4 (((𝐴𝐸𝐵𝐹) ∧ (𝐶𝐺𝐷𝐻) ∧ 𝐴𝐵) → (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ({𝐶} ∪ {𝐷}))
9 df-pr 3614 . . . . . 6 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
109rneqi 4873 . . . . 5 ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ran ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
11 rnun 5055 . . . . 5 ran ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩})
1210, 11eqtri 2210 . . . 4 ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩})
13 df-pr 3614 . . . 4 {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
148, 12, 133eqtr4g 2247 . . 3 (((𝐴𝐸𝐵𝐹) ∧ (𝐶𝐺𝐷𝐻) ∧ 𝐴𝐵) → ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐶, 𝐷})
15 eqimss 3224 . . 3 (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐶, 𝐷} → ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐶, 𝐷})
1614, 15syl 14 . 2 (((𝐴𝐸𝐵𝐹) ∧ (𝐶𝐺𝐷𝐻) ∧ 𝐴𝐵) → ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐶, 𝐷})
17 df-f 5239 . 2 ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷} ↔ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵} ∧ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐶, 𝐷}))
181, 16, 17sylanbrc 417 1 (((𝐴𝐸𝐵𝐹) ∧ (𝐶𝐺𝐷𝐻) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360  cun 3142  wss 3144  {csn 3607  {cpr 3608  cop 3610  ran crn 4645   Fn wfn 5230  wf 5231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239
This theorem is referenced by:  ftpg  5721
  Copyright terms: Public domain W3C validator