Theorem funbrfvb 5600

Description: Equivalence of function value and binary relation. (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funbrfvb	|- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( ( F ` A ) = B <-> A F B ) )

Proof of Theorem funbrfvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 5285	. 2 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
2		fnbrfvb 5598	. 2 |- ( ( F Fn dom F /\ A e. dom F ) -> ( ( F ` A ) = B <-> A F B ) )
3	1, 2	sylanb 284	1 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( ( F ` A ) = B <-> A F B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   dom cdm 4660   Fun wfun 5249   Fn wfn 5250   ` cfv 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  funbrfv2b  5602  dfimafn  5606  funimass4  5608  dvidlemap  14870  dvidrelem  14871  dvidsslem  14872  pilem3  14959