Theorem funbrfvb 5514

Description: Equivalence of function value and binary relation. (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funbrfvb	|- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( ( F ` A ) = B <-> A F B ) )

Proof of Theorem funbrfvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 5203	. 2 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
2		fnbrfvb 5512	. 2 |- ( ( F Fn dom F /\ A e. dom F ) -> ( ( F ` A ) = B <-> A F B ) )
3	1, 2	sylanb 282	1 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( ( F ` A ) = B <-> A F B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3967   dom cdm 4589   Fun wfun 5167   Fn wfn 5168   ` cfv 5173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4029  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-fv 5181

This theorem is referenced by:  funbrfv2b  5516  dfimafn  5520  funimass4  5522  dvidlemap  13156  pilem3  13200