Theorem dfimafn 5535

Description: Alternate definition of the image of a function. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
dfimafn	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( F " A ) = { y | E. x e. A ( F ` x ) = y } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Proof of Theorem dfimafn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima2 4948	. 2 |- ( F " A ) = { y | E. x e. A x F y }
2		ssel 3136	. . . . . 6 |- ( A C_ dom F -> ( x e. A -> x e. dom F ) )
3		funbrfvb 5529	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
4	3	ex 114	. . . . . 6 |- ( Fun F -> ( x e. dom F -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) )
5	2, 4	syl9r 73	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( A C_ dom F -> ( x e. A -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) ) )
6	5	imp31 254	. . . 4 |- ( ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
7	6	rexbidva 2463	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( E. x e. A ( F ` x ) = y <-> E. x e. A x F y ) )
8	7	abbidv 2284	. 2 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> { y | E. x e. A ( F ` x ) = y } = { y | E. x e. A x F y } )
9	1, 8	eqtr4id 2218	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( F " A ) = { y | E. x e. A ( F ` x ) = y } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   E.wrex 2445   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   "cima 4607   Fun wfun 5182   ` cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  dfimafn2  5536  fvelimab  5542