Theorem funbrfvb 5579

Description: Equivalence of function value and binary relation. (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funbrfvb	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem funbrfvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 5265	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		fnbrfvb 5577	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))
3	1, 2	sylanb 284	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  dom cdm 4644  Fun wfun 5229   Fn wfn 5230  ‘cfv 5235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243

This theorem is referenced by:  funbrfv2b  5581  dfimafn  5585  funimass4  5587  dvidlemap  14617  pilem3  14661