Theorem fundm2domnop 11013

Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 9-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fundm2domnop	|- ( ( Fun G /\ 2o ~<_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )

Proof of Theorem fundm2domnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundif 5327	. 2 |- ( Fun G -> Fun ( G \ { (/) } ) )
2		fundm2domnop0 11012	. 2 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )
3	1, 2	sylan 283	1 |- ( ( Fun G /\ 2o ~<_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   \ cdif 3167   (/)c0 3464   {csn 3638   class class class wbr 4051   X. cxp 4681   dom cdm 4683   Fun wfun 5274   2oc2o 6509   ~<_ cdom 6839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fv 5288  df-1o 6515  df-2o 6516  df-dom 6842

This theorem is referenced by: (None)