Theorem fundmfi 7003

Description: The domain of a finite function is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fundmfi	|- ( ( A e. Fin /\ Fun A ) -> dom A e. Fin )

Proof of Theorem fundmfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundmeng 6866	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ Fun A ) -> dom A ~~ A )
2		enfii 6935	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ dom A ~~ A ) -> dom A e. Fin )
3	1, 2	syldan 282	1 |- ( ( A e. Fin /\ Fun A ) -> dom A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   dom cdm 4663   Fun wfun 5252   ~~ cen 6797   Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802

This theorem is referenced by:  fundmfibi  7004  residfi  7006  funrnfi  7008