Theorem enfii 6776

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	|- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )

Proof of Theorem enfii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 6775	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )
2	1	biimparc 297	1 |- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ~~ cen 6640   Fincfn 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645

This theorem is referenced by:  dif1en  6781  diffisn  6795  xpfi  6826  fisseneq  6828  fundmfi  6834  relcnvfi  6837  f1ofi  6839  f1dmvrnfibi  6840  f1finf1o  6843  en1eqsn  6844  exmidonfinlem  7066  fzfig  10234  hashennnuni  10557  hashennn  10558  summodclem2  11183  zsumdc  11185  prodmodclem2  11378  zproddc  11380