Theorem enfii 6937

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	|- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )

Proof of Theorem enfii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 6936	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )
2	1	biimparc 299	1 |- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ~~ cen 6799   Fincfn 6801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-er 6594  df-en 6802  df-fin 6804

This theorem is referenced by:  dif1en  6942  diffisn  6956  xpfi  6995  fisseneq  6997  fundmfi  7005  relcnvfi  7009  f1ofi  7011  f1dmvrnfibi  7012  f1finf1o  7015  en1eqsn  7016  exmidonfinlem  7263  fzfig  10525  hashennnuni  10874  hashennn  10875  summodclem2  11550  zsumdc  11552  prodmodclem2  11745  zproddc  11747  znfi  14237