Theorem enfii 6930

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	|- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )

Proof of Theorem enfii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 6929	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )
2	1	biimparc 299	1 |- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ~~ cen 6792   Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797

This theorem is referenced by:  dif1en  6935  diffisn  6949  xpfi  6986  fisseneq  6988  fundmfi  6996  relcnvfi  7000  f1ofi  7002  f1dmvrnfibi  7003  f1finf1o  7006  en1eqsn  7007  exmidonfinlem  7253  fzfig  10501  hashennnuni  10850  hashennn  10851  summodclem2  11525  zsumdc  11527  prodmodclem2  11720  zproddc  11722  znfi  14143