Theorem enfii 6973

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	|- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )

Proof of Theorem enfii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 6972	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )
2	1	biimparc 299	1 |- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   ~~ cen 6827   Fincfn 6829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-er 6622  df-en 6830  df-fin 6832

This theorem is referenced by:  dif1en  6978  diffisn  6992  xpfi  7031  fisseneq  7033  fundmfi  7041  relcnvfi  7045  f1ofi  7047  f1dmvrnfibi  7048  f1finf1o  7051  en1eqsn  7052  exmidonfinlem  7303  fzfig  10577  hashennnuni  10926  hashennn  10927  summodclem2  11726  zsumdc  11728  prodmodclem2  11921  zproddc  11923  znfi  14450