Theorem enfii 7170

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	|- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )

Proof of Theorem enfii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 7169	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )
2	1	biimparc 299	1 |- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ~~ cen 7014   Fincfn 7016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019

This theorem is used by:  dif1en  7177  diffisn  7191  xpfi  7233  imaf1fi  7234  fisseneq  7236  fundmfi  7245  relcnvfi  7249  f1ofi  7251  f1dmvrnfibi  7252  mapfi  7255  f1finf1o  7258  en1eqsn  7259  fsuppcorn  7295  fipwfi  7315  exmidonfinlem  7539  fzfig  10850  hashennnuni  11201  hashennn  11202  sseqn  11262  hashf1lem2  11269  summodclem2  12132  zsumdc  12134  prodmodclem2  12327  zproddc  12329  ballotfilemro  13249  gsumf1ofi  14143  znfi  14973  upgrfi  16326  eupthfi  16675