Theorem enfii 6590

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	|- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )

Proof of Theorem enfii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 6589	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )
2	1	biimparc 293	1 |- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1438   class class class wbr 3845   ~~ cen 6455   Fincfn 6457

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-er 6292  df-en 6458  df-fin 6460

This theorem is referenced by:  dif1en  6595  diffisn  6609  xpfi  6640  fisseneq  6642  fundmfi  6647  relcnvfi  6650  f1ofi  6652  f1dmvrnfibi  6653  f1finf1o  6656  en1eqsn  6657  fzfig  9837  hashennnuni  10187  hashennn  10188  isummolem2  10772  zisum  10774