ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enfii Unicode version

Theorem enfii 6768
Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfii  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem enfii
StepHypRef Expression
1 enfi 6767 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
21biimparc 297 1  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1480   class class class wbr 3929    ~~ cen 6632   Fincfn 6634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637
This theorem is referenced by:  dif1en  6773  diffisn  6787  xpfi  6818  fisseneq  6820  fundmfi  6826  relcnvfi  6829  f1ofi  6831  f1dmvrnfibi  6832  f1finf1o  6835  en1eqsn  6836  exmidonfinlem  7054  fzfig  10215  hashennnuni  10537  hashennn  10538  summodclem2  11163  zsumdc  11165  prodmodclem2  11358
  Copyright terms: Public domain W3C validator