Theorem funrnfi 6705

Description: The range of a finite relation is finite if its converse is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
funrnfi	|- ( ( Rel A /\ Fun `' A /\ A e. Fin ) -> ran A e. Fin )

Proof of Theorem funrnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4462	. 2 |- ran A = dom `' A
2		relcnvfi 6704	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )
3	2	3adant2 963	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Fun `' A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )
4		simp2 945	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Fun `' A /\ A e. Fin ) -> Fun `' A )
5		fundmfi 6701	. . 3 |- ( ( `' A e. Fin /\ Fun `' A ) -> dom `' A e. Fin )
6	3, 4, 5	syl2anc 404	. 2 |- ( ( Rel A /\ Fun `' A /\ A e. Fin ) -> dom `' A e. Fin )
7	1, 6	syl5eqel 2175	1 |- ( ( Rel A /\ Fun `' A /\ A e. Fin ) -> ran A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 925   e. wcel 1439   `'ccnv 4450   dom cdm 4451   ran crn 4452   Rel wrel 4456   Fun wfun 5022   Fincfn 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-sbc 2842  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-er 6306  df-en 6512  df-fin 6514

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  6707