Theorem funrnfi 7003

Description: The range of a finite relation is finite if its converse is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
funrnfi	|- ( ( Rel A /\ Fun `' A /\ A e. Fin ) -> ran A e. Fin )

Proof of Theorem funrnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4671	. 2 |- ran A = dom `' A
2		relcnvfi 7002	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )
3	2	3adant2 1018	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Fun `' A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )
4		simp2 1000	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Fun `' A /\ A e. Fin ) -> Fun `' A )
5		fundmfi 6998	. . 3 |- ( ( `' A e. Fin /\ Fun `' A ) -> dom `' A e. Fin )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ( Rel A /\ Fun `' A /\ A e. Fin ) -> dom `' A e. Fin )
7	1, 6	eqeltrid 2280	1 |- ( ( Rel A /\ Fun `' A /\ A e. Fin ) -> ran A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2164   `'ccnv 4659   dom cdm 4660   ran crn 4661   Rel wrel 4665   Fun wfun 5249   Fincfn 6796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  7005  4sqlemffi  12537