ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fundmfibi Unicode version

Theorem fundmfibi 6935
Description: A function is finite if and only if its domain is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
fundmfibi  |-  ( Fun 
F  ->  ( F  e.  Fin  <->  dom  F  e.  Fin ) )

Proof of Theorem fundmfibi
StepHypRef Expression
1 fundmfi 6934 . . 3  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  Fun  F )  ->  dom  F  e.  Fin )
21ancoms 268 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  F  e.  Fin )  ->  dom  F  e.  Fin )
3 funfn 5245 . . 3  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
4 fnfi 6933 . . 3  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  dom  F  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )
53, 4sylanb 284 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )
62, 5impbida 596 1  |-  ( Fun 
F  ->  ( F  e.  Fin  <->  dom  F  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    e. wcel 2148   dom cdm 4625   Fun wfun 5209    Fn wfn 5210   Fincfn 6737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-1o 6414  df-er 6532  df-en 6738  df-fin 6740
This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  6940  fihasheqf1oi  10760  negfi  11229
  Copyright terms: Public domain W3C validator