Theorem fundmfibi 7066

Description: A function is finite if and only if its domain is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fundmfibi	|- ( Fun F -> ( F e. Fin <-> dom F e. Fin ) )

Proof of Theorem fundmfibi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundmfi 7065	. . 3 |- ( ( F e. Fin /\ Fun F ) -> dom F e. Fin )
2	1	ancoms 268	. 2 |- ( ( Fun F /\ F e. Fin ) -> dom F e. Fin )
3		funfn 5320	. . 3 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
4		fnfi 7064	. . 3 |- ( ( F Fn dom F /\ dom F e. Fin ) -> F e. Fin )
5	3, 4	sylanb 284	. 2 |- ( ( Fun F /\ dom F e. Fin ) -> F e. Fin )
6	2, 5	impbida 596	1 |- ( Fun F -> ( F e. Fin <-> dom F e. Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2178   dom cdm 4693   Fun wfun 5284   Fn wfn 5285   Fincfn 6850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  7072  fihasheqf1oi  10969  negfi  11654  4sqlemffi  12834