ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fundmfibi Unicode version

Theorem fundmfibi 6793
Description: A function is finite if and only if its domain is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
fundmfibi  |-  ( Fun 
F  ->  ( F  e.  Fin  <->  dom  F  e.  Fin ) )

Proof of Theorem fundmfibi
StepHypRef Expression
1 fundmfi 6792 . . 3  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  Fun  F )  ->  dom  F  e.  Fin )
21ancoms 266 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  F  e.  Fin )  ->  dom  F  e.  Fin )
3 funfn 5121 . . 3  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
4 fnfi 6791 . . 3  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  dom  F  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )
53, 4sylanb 280 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )
62, 5impbida 568 1  |-  ( Fun 
F  ->  ( F  e.  Fin  <->  dom  F  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    e. wcel 1463   dom cdm 4507   Fun wfun 5085    Fn wfn 5086   Fincfn 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-1o 6279  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603
This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  6798  fihasheqf1oi  10485  negfi  10950
  Copyright terms: Public domain W3C validator