Theorem fundmfi 6572

Description: The domain of a finite function is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fundmfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐴) → dom 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem fundmfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundmeng 6454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐴) → dom 𝐴 ≈ 𝐴)
2		enfii 6520	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom 𝐴 ≈ 𝐴) → dom 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 276	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐴) → dom 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3811  dom cdm 4401  Fun wfun 4963   ≈ cen 6385  Fincfn 6387

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-sbc 2827  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-er 6222  df-en 6388  df-fin 6390

This theorem is referenced by:  fundmfibi  6573  funrnfi  6576