Theorem fundmfi 6754

Description: The domain of a finite function is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fundmfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐴) → dom 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem fundmfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundmeng 6631	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐴) → dom 𝐴 ≈ 𝐴)
2		enfii 6697	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom 𝐴 ≈ 𝐴) → dom 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐴) → dom 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  dom cdm 4477  Fun wfun 5053   ≈ cen 6562  Fincfn 6564

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-er 6359  df-en 6565  df-fin 6567

This theorem is referenced by:  fundmfibi  6755  funrnfi  6758